Tout nombre complexe peut s'écrire sous la forme x + i y où x et y sont des nombres réels. Représentation graphique du complexe x + i y = r eiφ à l'aide d'un vecteur.
Tout élément z de s'écrit de manière unique : z = a + ib (a et b réels), donc si z = a + ib et z' = a' + ib', z = z' ⇔ a = a' et b = b'. a + ib (a et b réels) s'appelle la forme algébrique du nombre complexe z. Le réel a s'appelle la partie réelle de z, notée Re(z).
Soient deux nombres complexes z et z′ de formes algébriques x+iy x + i y et x′+iy′ x ′ + i y ′ . Pour calculer la somme de ces nombres complexes, il suffit d'additionner les deux parties réelles ensembles et les deux parties imaginaires ensemble. soient z=2−5i z = 2 − 5 i et z′=−4+9i z ′ = − 4 + 9 i .
On appelle forme algébrique (ou cartésienne) d'un nombre complexe z = (x, y) l'expression z = x +jy. si x = 0, alors z = jy est un nombre imaginaire pur: z ∈I L'ensemble des nombres imaginaires purs se note I. , on a alors la figure 1 suivante. A tout nombre complexe z = x + jy, on associe le point M(x, y).
Définition : Il existe un ensemble de nombres, noté ℂ, appelé ensemble des nombres complexes qui possède les propriétés suivantes : - ℂ contient ℝ. - Dans ℂ, on définit une addition et une multiplication qui suivent les mêmes règles de calcul que dans ℝ.
L'ensemble des nombres entiers, représenté par le symbole Z, regroupe tous les nombres naturels (entiers positifs) et leurs opposés (entiers négatifs). Z={…,−3,−2,−1,0,1,2,3,…} Z = { … , − 3 , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , … }
L'ensemble des nombres décimaux est noté ⅅ.
Le module d'un nombre complexe z=a+ib est : ∣z∣=a2+b2 . Un argument d'un nombre complexe non nul z est une mesure en radian de l'angle orienté θ tel que cos(θ)=∣z∣Re(z) et sin(θ)=∣z∣Im(z).
La mobilisation et l'intégration des ressources pour résoudre une situation complexe doit faire l'objet d'un apprentissage spécifique, au même titre que celui des ressources ; enfin, il faut veiller à ce qu'elle ne soit pas plus difficile que les situations qui ont été abordées lors de l'apprentissage.
Vocabulaire : - L'écriture a + ib d'un nombre complexe z est appelée la forme algébrique de z. - Le nombre a s'appelle la partie réelle et la nombre b s'appelle la partie imaginaire. On note Re(z) = a et Im(z) = b . Remarques : - Si b = 0 alors z est un nombre réel.
On dit qu'un nombre complexe a est algébrique s'il est racine d'un polynôme non nul à coefficients dans Q . Dans le cas contraire, il est dit transcendant. Exemple : √2 est algébrique : il est racine de X2−2 X 2 − 2 .
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Propriété : Argument du conjugué d'un nombre complexe
Pour tout nombre complexe non nul 𝑧 et son conjugué 𝑧 (également noté 𝑧 ∗ ), a r g a r g ( 𝑧 ) = − 𝑧 .
La valeur de cet angle comprise entre et est appelée l'argument principal de . Si z = a + b i , alors | z | = | a + b i | , et l'un de ses arguments est tel que cos θ = a / | z | et sin θ = b / | z | .
Définition. Étant donné un nombre complexe z non nul, un argument de z est une mesure (en radians, donc modulo 2π) de l'angle : où M est l'image de z dans le plan complexe, c'est-à-dire le point d'affixe z.
Où l'on démontre que racine de 2 ne peut pas être le quotient de deux entiers et que c'est donc un nombre irrationnel.
Déterminer la nature d'un nombre, c'est déterminer le plus petit ensemble (au sens de l'inclusion que l'on observe sur le schéma) auquel il appartient. 84 7 − ? On sait déjà que 84 7 − est un nombre réel. Ainsi, 84 7 − est un entier relatif.
L'ensemble ℕ vient de l'appellation naturale attribuée à Peano. Il désigne l'ensemble des nombres entiers naturels (exemples : 0 1 2 3 7). Si l'on note ℕ*, cela signifie que l'on exclut le zéro. L'ensemble ℤ vient de l'allemand zahlen qui signifie compter.
Tout nombre complexe non nul admet exactement deux racines carrées, qui sont opposées! On dispose de deux méthodes pour résoudre l'équation z2=w : Écrire w=a+ib, z=x+iy, et procéder par identification des coefficients.
Quels sont les nombres entiers naturels ? Les nombres entiers naturels sont les nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20,...
Quelques propriétés mathématiques du zéro
On dit que le zéro est un nombre cardinal, représentant l'ensemble vide. C'est le plus petit nombre entier naturel, et également un élément neutre, le seul à ne pas avoir d'inverse : il est à la fois positif et négatif.