La fonction f est convexe sur I si sa dérivée f ' est croissante sur I, soit f ''(x) ≥ 0 pour tout x de I. La fonction f est concave sur I si sa dérivée f ' est décroissante sur I, soit f ''(x) ≤ 0 pour tout x de I.
On démontre qu'une fonction est concave sur un intervalle si et seulement si sa dérivée est décroissante sur cet intervalle, autrement dit si sa dérivée seconde est négative sur cet intervalle.
Une fonction est dite concave sur un intervalle si, pour toute paire de points sur le graphe de , le segment de droite qui relie ces deux points passe en dessous de la courbe de . Une fonction convexe possède une dérivée première croissante ce qui lui donne l'allure de courber vers le haut.
On calcule f''(x) : f'(x) = 3x2 – 12x + 9 et f''(x) = 6x – 12. On étudie ensuite le signe de f'' : 6x – 12 > 0 si et seulement si x > 2 . Ainsi on peut dire que : f est concave sur [–1 ; 2] car, pour x ∈ [–1 ; 2], f''(x) < 0.
À l'aide de la courbe représentative de f
Une fonction f est convexe lorsque sa courbe représentative se trouve au-dessus de ses tangentes, et concave lorsque sa courbe représentative se trouve en dessous de ses tangentes.
Une fonction f est convexe si, pour tout couple de points A et B de la courbe de f, la sécante (AB) est au-dessus de la courbe de f. Si, pour tout couple de points A et B de la courbe de f, la sécante (AB) est en dessous de la courbe de f, alors on dit que f est concave.
Pour déterminer les abscisses des points d'inflexion de sa courbe, on cherche les points où la dérivée seconde s'annule en changeant de signe. Soit, par exemple, à déterminer les abscisses des points d'inflexion de la courbe représentative de la fonction définie par f ( x ) = 1 2 x 4 + x 3 − 6 x 2 .
Pour déterminer le sens de variation d'une fonction f , on étudie le signe de sa dérivée : f ′ ( x ) . Pour interpréter ce signe : Si f ′ ( x ) a le signe + sur un intervalle, alors f est croissante sur cet intervalle. Si f ′ ( x ) a le signe - sur un intervalle, alors f est décroissante sur cet intervalle.
Étudier le signe d'une telle expression revient à étudier séparément le signe des facteurs et puis à appliquer la règle des signes. Cela revient à résoudre les inéquations et . Pour cela, on utilise un tableau de signes. Le produit de deux nombres négatifs est positif.
Le signe d'une fonction permet de savoir quand la fonction est positive, négative ou nulle. Pour une fonction 𝑓 ( 𝑥 ) sur un intervalle 𝐼 , le signe est positif si 𝑓 ( 𝑥 ) > 0 pour tout 𝑥 dans 𝐼 , le signe est négatif si 𝑓 ( 𝑥 ) < 0 pour tout 𝑥 dans 𝐼 .
Un sous-ensemble C d'un espace vectoriel réel E est dit convexe si, pour tout couple de points quelconques de C, le segment qui a pour extrémités ces deux points est entièrement contenu dans C.
Un polygone est convexe si tout segment qui relie deux points intérieurs se trouve entièrement dans ce polygone. Dans un polygone concave, au moins un segment joignant deux de ses points se trouve, en tout ou en partie, à l'extérieur de sa surface.
Pour tout x ∈ E et r ≥ 0, la boule centrée en x et de rayon r (ouverte ou fermée) est convexe : B(x, r) := {y ∈ E | x − y ≤ r}. (iii) Pour toute forme linéaire φ : E → R et b ∈ R, le sous-niveau {x ∈ E;φ(x) ≤ b} est un ensemble convexe appelé demi-espace.
Adjectif. Qui présente une surface en creux. Surface, ligne courbe, polygone concave.
La dérivée seconde indique la variation de la pente de la courbe représentative et permet de mesurer la concavité locale de la courbe. Si elle est positive sur un intervalle, la pente augmente, la courbure est vers le haut, la fonction est dite « convexe » sur cet intervalle.
Un objet géométrique est dit convexe lorsque, chaque fois qu'on y prend deux points A et B, le segment [A, B] qui les joint y est entièrement contenu. Ainsi un cube plein, un disque ou une boule sont convexes, mais un objet creux ou bosselé ne l'est pas.
En mathématiques, un tableau de signes est un tableau à double entrée qui permet de déterminer le signe d'une expression algébrique factorisée, en appliquant la règle des signes et en facilitant l'organisation du raisonnement.
Soit le polynôme P(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0) et Δ son discriminant. Si Δ ≤ 0, alors P(x) est du signe de a. Si Δ > 0, alors P(a) admet deux racines x1 et x2.
Pour factoriser une somme, il faut repérer le facteur commun aux différents termes de la somme. A : le facteur commun est x ; si l'on développe x(x − 5), on retrouve bien x2 − 5x. B : le facteur commun est 2x ; si l'on développe 2x(x − 3 + y), on retrouve bien 2x2− 6x + 2xy.
L'étude d'une fonction f est une composante incontournable d'un problème. Selon l'énoncé, le nombre de questions intermédiaires peut varier, c'est pourquoi il faut être capable de dérouler par soi-même toutes les étapes de l'étude. L'objectif est de dresser le tableau de variations complet d'une fonction.
Pour obtenir le signe d'une telle fonction, il faut dresser un tableau de signes. Considérons x1, x2 et x3 les trois racines telles que x1 ≤ x2 ≤ x3. Dans le cas où x1 = x2, l'intervalle ]x1 ; x2[ n'existe pas. Dans le cas où x2 = x3, l'intervalle ]x2 ; x3[ n'existe pas.
Définition : Limites à droite ou à gauche
Si les valeurs de 𝑓 ( 𝑥 ) tendent vers une valeur 𝐿 quand 𝑥 tend vers 𝑎 du côté négatif, c'est-à-dire pour 𝑥 < 𝑎 , mais pas nécessairement en 𝑥 = 𝑎 , alors on dit que la limite de 𝑓 ( 𝑥 ) quand 𝑥 tend vers 𝑎 du côté gauche est égale à 𝐿 et on la note l i m → 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝐿 .
Une erreur fréquente : chercher les valeurs de qui annulent la dérivée première et non la dérivée seconde. A retenir : est l'abscisse d'un point d'inflexion de la courbe si la dérivée seconde s'annule en changeant de signe en . Si la dérivée première s'annule en changeant de signe en , alors est l'abscisse d' ...
Alors une condition nécessaire pour que x soit un point d'inflexion de la fonction est que la dérivée seconde s'annule en ce point. Une condition suffisante est alors que f est dérivable trois fois en x, et que la dérivée troisième ne s'annule pas. Alors x est un point d'inflexion de la fonction f.
Un point anguleux sur une courbe est un point admettant des demi-tangentes à droite et à gauche non colinéaires , ce qui correspond à l'existence de dérivées à droite et à gauche différentes pour la fonction explicite associée. Voir aussi : Sciences Sup. Mathématiques générales.