Pour que la fonction valeur absolue soit dérivable en 0, il doit exister un réel unique L tel que tende vers L lorsque h tend vers 0. Or : si h > 0, donc on aurait L = 1 ; si h < 0, donc on aurait L = −1.
Soit f : [a, b] → R une fonction. (1) Soit x0 ∈]a, b[. Alors f est dérivable en x0 si et seulement si f est dérivable `a droite et `a gauche en x0 et fg(x0) = fd(x0). (2) f est dérivable en a si et seulement si f est dérivable `a droite en a.
La dérivabilité se démontre usuellement de deux façons : dans l'étude locale (c'est-à-dire en se plaçant dans un voisinage du point étudié), en utilisant directement la définition de l'existence du nombre dérivé à l'aide de limites.
On dit qu'une fonction f est dérivable sur un intervalle I lorsque f est dérivable en tout point de I. On note f la fonction dérivée de f qui à tout x ∈I associe f (x). Si g ne s'annule pas sur I, f g est aussi dérivable sur I et ( f g ) = f g − fg g2 .
La fonction valeur absolue est continue en 0, mais elle n'est pas dérivable en 0. Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Si a et b sont deux réels de I et si k est un réel compris entre f(a) et f(b), alors il existe au moins un réel x compris entre a et b tel que f(x) = k.
la limite en 0 de n'existe pas. On ne peut alors parler ni de nombre dérivé, ni de tangente en . Les limites à droite et à gauche en 0 du rapport n'étant pas égales, on ne peut parler de limite en 0. La fonction valeur absolue n'est donc pas dérivable en 0.
Il s'agit en fait d'une propriété générale : une fonction n'est pas dérivable aux points où elle n'est pas continue.
a) La fonction f admet une limite en x0 (c'est-`a-dire, f est continue en x0) si et seulement si elle admet f(x0) comme limite `a droite et `a gauche en x0. b) Si f admet des limites distinctes `a droite et `a gauche en x0, alors f n'admet pas de limite en x0.
Propriété : a et b sont deux nombres réels. f est une fonction dérivable sur un intervalle I. Alors la fonction g définie sur I par g(x) = f (ax + b) est dérivable sur tout intervalle J tel que pour tout x ∈J , ax + b ∈I et on a : g'(x) = af '(ax + b).
Une fonction est dérivable sur un intervalle si elle est dérivable en tout point de cet intervalle. L'ensemble des points sur lesquels une fonction est dérivable est son ensemble de dérivabilité. En classe de première, la dérivabilité sur un intervalle est toujours précisée dans l'énoncé des exercices.
Soient I un intervalle de R, f : I → R une fonction dérivable et a ∈ I. On dit que f est deux fois dérivable en a si f est dérivable en a. La dérivée de f en a s'appelle la dérivée seconde de f en a et se note f (a). On dit que f est deux fois dérivable si f est dérivable.
Théorème Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a ∈ I. Si f est dérivable en a Alors f est continue en a. f(x) = f(a), et donc que f est donc continue en a.
Une fonction f:I→R f : I → R est donc dérivable en a si et seulement s'il existe α∈R α ∈ R et une fonction ε définie dans un intervalle J ouvert contenant 0 , vérifiant limh→0ε(h)=0 lim h → 0 ε ( h ) = 0 tels que ∀h∈J, f(a+h)=f(a)+αh+hε(h). ∀ h ∈ J , f ( a + h ) = f ( a ) + α h + h ε ( h ) .
Pour lire graphiquement f '(0), on lit le coefficient directeur de la tangente en B. Pour cela, on peut : lire les coordonnées d'un autre point C de la droite et calculer le coefficient directeur . Ainsi, f '(0) = –1,5.
En mathématiques, une fonction continue nulle part dérivable est une fonction numérique qui est régulière du point de vue topologique (c'est-à-dire continue) mais ne l'est pas du tout du point de vue du calcul différentiel (c'est-à-dire qu'elle n'est dérivable en aucun point).
Une fonction f:I→R f : I → R est donc dérivable en a si et seulement s'il existe α∈R α ∈ R et une fonction ε définie dans un intervalle J ouvert contenant 0 , vérifiant limh→0ε(h)=0 lim h → 0 ε ( h ) = 0 tels que ∀h∈J, f(a+h)=f(a)+αh+hε(h).
On considère la fonction f définie sur R par f(x) = x sin x. donc f(xn) tend vers +∞. donc f(yn) tend vers 0. Par un raisonnement semblable à celui de l'exercice précédent, on en déduit que la fonction x ↦→ cos (1 x ) n'admet pas de limite en 0.
* Si a = b = 0, l'expression devient : f (x) = 0 . On obtient alors la fonction nulle.
Donc n'est pas dérivable en 0. Géométriquement, cela signifie que la courbe représentative de la fonction racine carrée admet une tangente verticale en 0.
Par exemple, la fonction racine carrée est continue sur l'intervalle mais elle n'est pas dérivable en 0 : la fonction racine carrée est dérivable sur l'intervalle .
Oui. Si on note f la fonction RAC. On a lim(f) =f(0) quand x → 0. Mais f n'est pas dérivable en 0 car f '(x) = 1 / (2RAC(x)) n'est pas définie en 0 (tangente verticale).
On montre que si une fonction est dérivable en un point, elle est également continue en ce point.
Généralement, on ne se pose pas trop de question : par exemple pour f(x) = |x|^3, il suffit de dire que la fonction valeur absolue est dérivable sur R privé de 0 ainsi, la fonction f(x) = |x|^3 est dérivable sur R privé de 0.
la dérivée n-`eme de f en a l'application x ↦→ f(n)(x). Soit n ∈ N∗. On dit que f est n-fois continûment dérivable (ou de classe Cn) sur D si f est n-fois dérivable sur D et f(n) est continue. On dit que f est indéfiniment dérivable (ou de classe C∞) sur D lorsque pour tout n ∈ N, f est n-fois dérivable sur D.
On a ainsi : f (x) = u(x) + v(x). Pour tout x de R , u'(x) = 1 et v'(x) = 2x.