La réciproque d'une fonction f s'obtient en intervertissant les valeurs de x et de y puis en isolant y . Elle se note f−1 . On obtient le graphique d'une réciproque en faisant subir à notre fonction une réflexion par rapport à l'axe y=x .
On trace la représentation de la fonction inverse et la droite d'équation y = 2 y=2 y=2 parallèle à l'axe des abscisses. On repère ensuite le point d'intersection entre les deux représentations. On lit l'abscisse de ce point d'intersection, qui est la solution de l'équation : S = { 0 , 5 } S=\{0,5\} S={0,5}.
Les fonctions f et g sont inverses l'une de l'autre si, pour tout élément de leur domaine, on a f(x) × g(x) = 1. L'expression « fonction inverse » est synonyme de « l'inverse d'une fonction ».
avec P(q) = ∂u/∂q(q) et l'on notera la fonction de demande sous la forme : q = D ( p ) . avec D(p) = ( ∂u/∂q )−1 (p). Remarquons ici que la demande inverse P(q) peut se définir directement comme le prix p = P(q) qu'il faut pratiquer pour vendre une quantité q de bien.
dom f−1=ima f et ima f−1=dom f. Afin de trouver la règle de la fonction réciproque de f, il suffit de poser x=f(y) et d'isoler la variable y.
Réciprocité en mathématiques
Si y=f(x), y = f ( x ) , la fonction réciproque notée f−1 (ou fr ) est telle que x=f−1(y) x = f − 1 ( y ) ou, si ça vous semble plus clair, f−1(f(x))=x.
Fonction pour laquelle les variables dépendante et indépendante qui définissent la relation entre le domaine et l'image peuvent être échangées de manière à ce que la nouvelle relation obtenue soit aussi une fonction. En d'autres termes, une fonction est inversible lorsque sa réciproque est aussi une fonction.
Inverse d'une fraction
Soit a et b deux nombres entiers d'une fraction avec a étant le numérateur et b le dénominateur. L'inverse de la fraction a/b est égal à b/a. On a par conséquent échangé le numérateur et le dénominateur.
Selon la definition de l'inverse modulo N (c. `a-d. U−1 · U ≡ 1 (mod N)), l'entier U est l'inverse de a. On peut utiliser l'algorithme étendu d'Euclide pour calculer l'inverse multiplicatif de a tel que pgcd(a, N) = 1.
Définition. La fonction inverse, notée f ( x ) = 1 x f(x) = \dfrac{1}{x} f(x)=x1 assoscie à tout nombre réel x non-nul son inverse noté x1.
On peut en déduire que l'inverse de 5 est 0,2 et que l'inverse de 0,2 est 5. Un nombre et son inverse ont le même signe.
1/12 est l'inverse du nombre entier 12.
Exemples. L'inverse de 2 est 12 parce que 2×12=1.
Le tableau de variation de cette fonction se trouve en page d'asymptotes. La fonction inverse est impaire puisque quel que soit x non nul, f(−x) est égal à −f(x).
On dit que l'axe des ordonnées est une asymptote verticale à la courbe de la fonction inverse. - Si ′( ) ≤ 0, alors est décroissante. - Si ′( ) ≥ 0, alors est croissante.
Les fonctions de référence les plus fréquemment étudiées sont les fonctions affines, fonctions puissances (notamment la fonction carré, parfois étendue à l'ensemble des fonctions du second degré), les fonctions trigonométriques (cosinus, sinus), etc.
Propriété : Deux nombres sont inverses l'un de l'autre si leur produit est égal à 1. Les nombres 3 et 0,333 sont-ils inverses l'un de l'autre ? Propriété : Diviser par un nombre, c'est multiplier par son inverse.
Pour trouver rapidement l'opposé d'un nombre, on change le signe. Le produit de deux inverses est 1 (l'élément neutre de la multiplication). L'inverse de -1/8 est -8 car -1/8 × -8 = 1. L'inverse de 4/9 est 9/4 car 4/9 × 9/4 = 1.
des rationnels, l'inverse de 2 est 1⁄ 2 = 0,5 et l'inverse de 4 est 0,25. La fonction inverse est l'application qui à tout réel non nul associe son inverse.
Diviser deux fractions, c'est multiplier la première fraction par l'inverse de la deuxième. Il suffit donc de trouver l'inverse (permuter le numérateur et le dénominateur) de la seconde fraction puis de procéder comme pour une multiplication.
L'opposé d'une somme a + b est la somme des opposés de a et de b. L'opposé d'une différence a - b est la somme de b et de l'opposé de a.
L'opposé du nombre 0 est le nombre 0. Deux nombres opposés sont deux nombres de même valeur absolue et de signes contraires.
Fonction positive, négative
On dit d'une fonction f qu'elle est négative sur un intervalle si, pour tout x dans cet intervalle, on f(x) ≤ 0. La courbe représentative de la fonction est alors située en dessous de l'axe horizontal, lorsqu'on se limite aux points dont l'abscisse appartient à l'intervalle considéré.
Si A est une partie de E, on appelle ensemble image de A par f, ou tout simplement image de A l'ensemble suivant : f(A)={f(x); x A}. D'autre part, si B est une partie de F, l'image réciproque de B par f est l'ensemble : f-1(B)={x E; f(x) B}.
expression de l'inverse d'une matrice inversible
Soit \(M\) une matrice inversible de \(M_n(K)\). Alors \(M^{-1}=\frac{1}{\det(M)}^tCom(M)\) où \(Com(M)\) désigne la matrice des cofacteurs de \(M\). Ce résultat est immédiat à partir de la formule précédente.