Ces positions relatives sont par ailleurs caractéristiques des droites coplanaires : pour prouver que deux droites sont coplanaires il suffit de prouver qu'elles sont sécantes ou parallèles, et pour prouver que deux droites ne sont pas coplanaires, il suffit de montrer qu'elles ne sont ni sécantes ni parallèles.
Pour savoir si →u, →v et →w sont coplanaires:
On cherche si deux vecteurs sont colinéaires parmi les 3. Pour cela, on regarde si leurs coordonnées sont proportionnelles. - S'il y a 2 vecteurs colinéaires alors les 3 vecteurs sont toujours coplanaires. - Sinon on cherche 2 nombres a et b tels que →w=a→u+b→v.
Indice : En géométrie vectorielle, pour montrer que 4 points sont coplanaires, il faut montrer que trois des vecteurs qu'ils forment sont coplanaires. Pour ça, il faut exprimer un des trois vecteurs en fonction des deux autres.
Soient u , v et w trois vecteurs de l'espace tels que u et v ne sont pas colinéaires (ainsi, u et v ne sont pas nuls). Les vecteurs u , v et w sont coplanaires si, et seulement si, il existe deux nombres réels λ et μ tels que w =λu +μv .
Des lignes, des segments ou des vecteurs sont coplanaires s'ils sont dessinés sur un plan ou sur des plans parallèles; ils sont tous horizontaux ou verticaux ou obliques de la même manière. Deux droites définies par les équations sont colinéaires si elles ont même coefficient directeur.
Dans l'espace, deux droites peuvent être coplanaires ou non. Si elles sont coplanaires, alors elles appartiennent à un même plan. Elles peuvent donc être sécantes (avoir un point d'intersection) ou parallèles (strictement parallèles ou confondues).
Remarque: si deux des trois vecteurs sont colinéaires alors les trois vecteurs sont nécessairement coplanaires.
2) Les vecteurs u, v et w sont non coplanaires ssi ils forment une base de l'espace, c'est à dire ssi au+bv+cw=0 implique a=b=c=O. Donc, on peut écrire le système d'équation à trois inconnues orrespondant à au+bv+cw=0. S'il a une solution non triviale, les vecteurs sont coplanaires, sinon ils ne le sont pas.
Définition : Trois vecteurs sont coplanaires s'ils possèdent des représentants appartenant à un même plan. Propriété : Soit , et trois vecteurs non coplanaires. Pour tout vecteur , il existe un unique triplet tel que .
On dit que deux vecteurs sont colinéaires si, en multipliant les composantes de l'un des vecteurs par un scalaire k (constante), on obtient les composantes de l'autre vecteur. Donc, si le vecteur →u est colinéaire au vecteur →v , alors il existe un scalaire k tel que →u=k→v u → = k v → .
Définition 1.
Deux droites ont la même direction si et seulement si elles sont parallèles ou confondues. On dit que deux vecteurs et sont colinéaires lorsqu'ils ont la même direction. Par conséquent, deux droites qui n'ont pas la même direction sont sécantes.
Les points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs ⃗ AB et ⃗ AC sont colinéaires. Les droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs ⃗ AB et ⃗ CD sont colinéaires.
Les trois points A 1 , A 2 , A 3 sont alignés si et seulement si les vecteurs A 1 A 2 → et A 1 A 3 → sont colinéaires, donc si et seulement si le déterminant des vecteurs A 1 A 2 → , A 1 A 3 → , est nul.
Pour démontrer que deux plans sont sécants, il suffit donc de montrer que deux vecteurs normaux associés respectivement aux deux plans sont non colinéaires.
d1 et d2 sont non coplanaires
Exemple : ABCDEFGH est un cube. - Les droites (EG) et (FG) appartiennent au même plan (EFG) et sont sécantes en G. - Les droites (AD) et (FG) appartiennent au même plan (ADG) et sont parallèles.
On dit que deux droites sont sécantes si elles ont un unique point commun. Pour étudier une courbe au voisinage d'un de ses points P, il est utile de considérer les sécantes issues de P, c'est-à-dire les droites passant par P et un autre point Q de la courbe.
Prenez les deux vecteurs→u et →v ci-dessous. Si l'on prend 1,5 fois →v pour lui ajouter un tiers de →u , on obtient →w . En l'occurrence, →u et →v forment une base et →w est une combinaison linéaire de →u et →v . Réciproquement, on peut obtenir →u avec →v et →w ou →v avec →u et →w .
Pour montrer qu'un point appartient à un plan donné par une équation cartésienne, on s'assure que ses coordonnées vérifient l'équation. Pour passer d'une équation cartésienne à une équation paramétrique d'un plan, on exprime une variable en fonction des 2 autres qu'on appelle t et t′.
Dans un repère orthonormé, le produit scalaire de deux vecteurs est égal à la somme des produits de leurs composantes correspondantes. →u⊙→v=uxvx+uyvy. →u⊙→v=uxvx+uyvy+uzvz.
Position relative de 2 droites de l'espace
Si 2 droites ont au moins 1 point d'intersection: elles sont coplanaires. Si 2 droites ont au moins 2 points d'intersection: elles sont confondues. Deux droites sont coplanaires signifient qu'elles appartiennent à un même plan. qu'aucun plan ne contient ces deux droites.
Pour déterminer une équation cartésienne d'un plan passant par A et de vecteur normal \vec{n}, on peut : donner la forme générale de l'équation : ax + by + cz + d = 0 ; remplacer les coefficients a, b, c par les coordonnées du vecteur \vec{n} ; déterminer ensuite la valeur de d à l'aide des coordonnées du point A.
Deux vecteurs sont colinéaires s'ils ont la même direction.
Deux plans sont perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux.
Comment prouver que 3 points sont alignés avec Pythagore ? On a donc a BCD = a CBA + a ABD = 90° + 90° = 180° L'angle a CBD étant plat alors les points B, C et D sont alignés.