Les suites arithmétiques ou géométriques ont l'avantage de pouvoir se calculer facilement (relation de récurrence, formules simples) pour tout terme choisi. Les suites de la forme un+1 = aun + b (a, b réels) peuvent se transformer en suites géométriques. Il est alors assez simple de donner des résultats de calculs.
Les suites géométriques satisfont une formule générale pour le calcul des termes ainsi que pour la série associée. Elles peuvent aussi servir à calculer des solutions particulières pour les relations de récurrence linéaires.
Les suites arithmétiques et les suites géométriques sont des suites particulières qui servent à modéliser bon nombre de situations de la vie courante. Par exemple, les suites arithmétiques permettent de décrire l'amortissement des matériels informatiques achetés par une entreprise .
Les séquences géométriques ont diverses applications dans la vie quotidienne, mais l’une des plus répandues est le calcul des intérêts . Un terme dans une série est calculé en multipliant la première valeur de la séquence par un taux augmenté à la puissance juste inférieure au nombre du terme.
Les séries géométriques ont joué un rôle important dans le développement précoce du calcul, sont utilisées dans toutes les mathématiques et peuvent servir d'introduction à des outils mathématiques fréquemment utilisés tels que la série de Taylor, la série de Fourier et la matrice exponentielle .
Les séquences et séries géométriques ont de nombreuses applications dans la vie réelle, notamment les intérêts composés, la croissance démographique, la croissance de bactéries, les circuits électriques, la valeur actuelle et l'amortissement des prêts ou des hypothèques .
Les séries géométriques sont utiles car elles peuvent être utilisées comme modèle de situations réelles qui peuvent trouver leur application en physique , par exemple. À partir d'une hauteur donnée h0, nous avons lancé, strictement horizontalement, avec une vitesse initiale donnée v0, un point matériel (supposons un petit poulet sphérique de densité uniforme).
Qu'avons-nous appris ? Nous avons appris qu'une séquence géométrique est une séquence de nombres où chaque nombre est trouvé en multipliant le nombre précédent par une constante . Pour déterminer si une séquence de nombres est une séquence géométrique, on divise chaque nombre par le nombre précédent.
C'est un indice qui permet de voir si un programme est performant ou pas (en simplifiant beaucoup).
Les maths permettent de mieux comprendre certains rouages de l'Univers, de la Nature et de penser autrement n'importe quelle situation de la vie de tous les jours.
Comment prouver qu'une suite est géométrique ? Pour prouver qu'une suite (u n) est géométrique, il faut démontrer que le quotient un+1/un est constant pour tout nombre entier n.
Une séquence géométrique (progression géométrique) est un ensemble ordonné de nombres qui progresse en multipliant ou en divisant chaque terme par une raison commune . Si l’on multiplie ou divise par le même nombre à chaque fois pour faire la séquence, c’est une séquence géométrique.
Écrire des formules pour des séquences géométriques
La forme générale de la formule de séquence géométrique est : an=a1r(n−1) , où r est la raison, a1 est le premier terme et n est le placement du terme dans la séquence. Voici une suite géométrique : 1,3,9,27,81,…
Elle en déduit alors les nombres qui suivent (5 + 8 = 13 ; 8 + 13 = 21 ; 13 + 21 = 37…). Cette célèbre suite porte le nom de Fibonacci, mathématicien italien du xiiie siècle.
u p + ⋯ + u q = ( q − p + 1 ) × ( u p + u q ) 2 . On retient souvent cette formule sous la forme : up+⋯+uq=(nb de termes)×(premier terme+dernier terme)2. u p + ⋯ + u q = ( nb de termes ) × ( premier terme + dernier terme ) 2 .
Les suites arithmétiques et géométriques. On étudie deux types de suites particulières : les suites arithmétiques (on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre) et les suites géométriques (on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre).
Les suites arithmétiques sont définies par une valeur initiale et une différence commune, avec le même nombre ajouté ou soustrait à chaque terme. Les séquences géométriques sont définies par une valeur initiale et une raison commune, avec le même nombre multiplié ou divisé pour chaque terme.
Une suite arithmétique a une différence constante entre chaque paire de termes consécutifs . Ceci est similaire aux fonctions linéaires qui ont la forme y=mx+b. Une suite géométrique a un rapport constant entre chaque paire de termes consécutifs. Cela créerait l’effet d’un multiplicateur constant.
La géométrie analytique fait l'étude des points et des droites situés dans un plan cartésien et des transformations géométriques qu'il est possible d'y produire. Elle permet aussi d'étudier des équations produites lorsqu'un plan coupe une surface conique.
Réponse et explication :
La séquence arithmétique est importante dans la vie réelle car elle nous permet de comprendre les choses à l'aide de modèles . Une séquence arithmétique constitue une excellente base pour décrire plusieurs choses comme le temps qui a une différence commune de 1 heure.
A ball bouncing is an example of a finite geometric sequence. Each time the ball bounces it's height gets cut down by half. If the ball's first height is 4 feet, the next time it bounces it's highest bounce will be at 2 feet, then 1, then 6 inches and so on, until the ball stops bouncing.
Si la suite a une différence commune, elle est arithmétique ; s'il a une raison, il est géométrique . Nous pouvons donc déterminer si une suite est arithmétique ou géométrique en déterminant si les termes adjacents diffèrent par une différence commune ou une raison commune.
La géométrie permet également de s'élever du domaine du concret à l'abstraction : il est plus facile pour les enfants, de partir de situations réelles (non nécessairement utilitaires) qu'ils vivent et comprennent pour apurer ensuite les concepts, les réduire à leurs éléments essentiels, les formaliser.
La géométrie participe au développement de la rigueur intellectuelle, de l'habileté manuelle, de l'aptitude à démontrer et à argumenter. La géométrie, à travers les travaux de construction ou les problèmes de recherche, favorise l'implication dans le travail commun, l'entraide et la coopération…