2/ Théorèmes de convergence * Si (un) est croissante et majorée alors (un) converge. La suite « monte » mais est bloquée par « un mur » donc elle possède une limite finie. * Si (un) est décroissante et minorée alors (un) converge. La suite « descend » mais est bloquée par « un mur » donc elle possède une limite finie.
Pour démontrer qu'une suite de fonctions (fn) converge uniformément vers f sur I, on peut : étudier les variations de la fonction fn−f f n − f sur I (en la dérivant par exemple) afin de déterminer supx∈I|fn(x)−f(x)| sup x ∈ I | f n ( x ) − f ( x ) | et de démontrer que cette quantité tend vers 0 (voir cet exercice);
Une suite est dite convergente si ses termes ont une limite finie quand n tend vers +∞. Créé par Sal Khan.
Démonstration : Si la série ( ∑ f n ) est normalement convergente, il suffit de poser a n = m n pour obtenir une série numérique convenable. Réciproquement, on a, par hypothèse : la série numérique ( ∑ a n ) est convergente et ( ∀ x ∈ I ) | f n ( x ) | ≤ a n , donc m n = sup x ∈ I { | f n ( x ) | } ≤ a n .
si la raison est positive (r > 0), la limite est +∞ ; si la raison est négative (r < 0), la limite est –∞ ; si la raison est nulle (r = 0), la suite est constante et converge donc vers la constante.
Si pour tout x, f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) et si les fonctions f et h ont la même limite L en k, alors la limite de la fonction g en k est aussi L. C'est ce théorème que l'on utilise pour établir que la limite de sin(x)/x quand x tend vers 0 est égale à 1.
Si r = 0, la suite (un) est constante égale à u0 et converge donc vers u0.
Une suite est convergente si et seulement si les suites ( u 2 n ) et ( u 2 n + 1 ) sont convergentes et ont même limite.
Proposition : Si la série ∑n≥0un(x) ∑ n ≥ 0 u n ( x ) converge normalement sur I , alors la suite des sommes partielles SN(x)=∑Nn=0un(x) S N ( x ) = ∑ n = 0 N u n ( x ) converge uniformément vers une fonction S sur I .
On dit que (fn) converge simplement vers f sur I si : ∀ε>0, ∀x∈I, ∃n0∈N tel que ∀n≥n0, |fn(x)−f(x)|≤ε.
En mathématiques, une série est dite convergente si la suite de ses sommes partielles a une limite dans l'espace considéré.
En effet, si |xn| ≤ K pour tout n > N alors |xn| ≤ M pour tout n, en posant M = max(|x0|, |x1|, … , |xN|, K). Toute suite convergente est par conséquent bornée (par exemple la suite un = (–1)n/(n + 1), qui converge vers 0, reste comprise entre u1 = –1/2 et u0 = 1).
Pour montrer qu'une suite est arithmétique, il faut démontrer que u n + 1 − u n est une constante, pour tout . Pour calculer la raison d'une suite arithmétique, nous pouvons utiliser la définition par récurrence d'une suite arithmétique, u n + 1 = u n + r .
Une suite u est dite convergente vers un point l (pas nécessairement unique) dans un espace topologique X lorsque tout voisinage de l contient tous les termes de la suite à partir d'un rang suffisamment grand ; une série est convergente lorsque la suite de ses sommes partielles l'est.
Propriété : Toute suite convergente est bornée. Donc si une suite n'est pas bornée, elle n'est pas convergente ! Mais, attention ! Il existe des suites bornées qui ne sont pas convergentes, par exemple la suite de terme général .
On dit que : a) la suite (un) est croissante si pour tout n ∈ : un ⩽ un+1 ; b) la suite (un) est décroissante si pour tout n ∈ : un ⩾ un+1 ; c) la suite (un) est monotone si elle est croissante ou décroissante ; d) la suite (un) est constante si pour tout n ∈ : un+1 = un.
Sens de variation, convergence et majoration/minoration
Si une suite est croissante et converge vers L, alors elle est majorée par L. Si une suite est décroissante et converge vers L, alors elle est minorée par L.
Force militaire chargée d'assurer la protection des personnes et des biens, la gendarmerie nationale est une entreprise moderne qui tire sa principale force de ses ressources humaines : 102 269 hommes et femmes mettent leurs compétences, leur idéal et leur enthousiasme au service de la sécurité de leurs concitoyens.
La Gendarmerie nationale est une des plus anciennes institutions françaises. Héritière de la Maréchaussée de France, elle exerce aujourd'hui des missions de police, sécurité et protection auprès de toute la population française.
∑ [terme général d'une suite arithmétique] = [nombre de termes] × [premier terme] + [dernier terme] 2 .
Une suite $(u_{n})$ est géométrique si et seulement si pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=a\times u_{n}$ où $a$ est un nombre indépendant de $n$. Pour démontrer qu'un suite est géométrique, on peut donc montrer qu'elle respecte bien la relation $u_{n+1}=a\times u_{n}$.
Une suite est définie par une formule explicite lorsque u n u_n un s'exprime directement en fonction de n. Dans ce cas, on peut calculer chaque terme à partir de son indice.
On dit que la suite u est bornée lorsqu'elle est à la fois majorée et minorée. Si la suite u est une suite croissante et majorée, alors elle converge.
un = 0. Si une série converge, son terme général tend vers 0. Dans le cas où le terme général ne tend pas vers 0, on dit que la série diverge grossièrement. (vk+1 −vk) = vn+1 −v0 Les suites (sn) et (vn+1) sont de même nature, il en est de même de (vn).