Une famille de vecteurs de E est une base de E si c'est une famille à la fois génératrice de E et libre. De façon équivalente, une famille est une base de l'espace vectoriel E quand tout vecteur de l'espace se décompose de façon unique en une combinaison linéaire de vecteurs de cette base.
Définition 4 Une famille F = { v1,..., vn} d'un espace vectoriel V sur un corps K est dite base de V lorsqu'elle est libre et génératrice. Par exemple la famille {(1, 1, 1), (1, 2, 3), (1, 2, 4)} est une base de R3.
On peut vérifier que ces deux vecteurs sont linéairement indépendants, donc ils forment une base de F. Si z − 3y + 3x = 0, il n'y a pas de solution. Si z − 3y + 3x = 0, on obtient un syst`eme triangulaire, il y a donc une unique solution. Conclusion : (x, y, z) ∈ F ⇐⇒ z − 3y + 3x = 0.
Les coordonnées d'un vecteur v de notre espace vectoriel favori R2 dans une base (i,j) sont deux nombres x et y qui vérifient l'équation caractéristique des coordonnées : v = xi + yj.
Pour trouver une base d'un sous-espace vectoriel F , on peut : chercher une famille génératrice B de F ; si B est libre, c'est terminé, sinon, un des vecteurs peut s'exprimer en fonction des autres.
Définition d'une base
Une famille de vecteurs de E est une base de E si c'est une famille à la fois génératrice de E et libre. De façon équivalente, une famille est une base de l'espace vectoriel E quand tout vecteur de l'espace se décompose de façon unique en une combinaison linéaire de vecteurs de cette base.
Une base vectorielle est un ensemble de vecteurs qui permet d'exprimer n'importe quel autre vecteur à l'aide d'une combinaison linéaire. On peut décomposer n'importe quel vecteur en deux dimensions en une somme de deux autres vecteurs lesquels sont multipliés par des scalaires.
le vecteur x de E non nul est dit vecteur propre de u si et seulement s'il existe un élément λ de K tel que u(x) = λx ; le scalaire λ élément de K est dit valeur propre de u si et seulement s'il existe un vecteur x non nul de E tel que u(x) = λx ; soit λ une valeur propre de u.
Définition 4.1.7. a) Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul. b) Une base est orthonormée si et seulement si ses vecteurs sont de norme 1 et deux `a deux orthogonaux.
Pour calculer la norme d'un vecteur, il faut utiliser la formule ‖ v → ‖ = v x 2 + v y 2 .
Une famille est une base si et seulement la matrice P formée par les vecteurs colonnes des coordonnées des vecteurs de la famille dans la base de référence est une matrice inversible. Dans ce cas, P est la matrice de passage de la base de référence vers B'. Ici, il s'agit de montrer que P=(231342112) est inversible.
Soient u et v , deux vecteurs de coordonnées respectives (xy) et (x′y′). Le déterminant de u et v est le réel det(u ;v )=xy′−yx′. Propriété : Deux vecteurs sont colinéaires si, et seulement si, leur déterminant est nul. Le déterminant de u (−3 ;9) et v (1 ;−3) est det(u ;v )=(−3)×(−3)−9×1=0.
Définitions. On appelle base de l'ensemble des vecteurs tout couple de vecteurs non-colinéaires. On appelle repère du plan tout triplé où O est un point du plan et est une base.
Pour démontrer que F est un sous-espace vectoriel de E , on applique la caractérisation des sous-espaces vectoriels, c'est-à-dire qu'on vérifie que 0E∈F 0 E ∈ F et que, pour tout couple (x,y)∈F2 ( x , y ) ∈ F 2 et tout scalaire λ∈K λ ∈ K , on a {x+y∈Fλx∈F.
(1) H est un hyperplan si, et seulement si, c'est le noyau d'une forme linéaire non nulle. (2) Si H = Ker(ϕ) = Ker(ψ), alors il existe λ ∈ R∗ tel que ϕ = λψ.
Pour montrer que U est une famille génératrice de E, on prend un x quelconque dans E et on cherche à l'exprimer comme combinaison linéaire des vecteurs de la famille. Si on a montré précédemment que E est égal à vect(U), on peut directement conclure que U est génératrice de E.
Une telle famille est dite orthonormale si de plus tous ses vecteurs sont unitaires : En résumé, une famille (vi)i∈I est orthonormale si ∀i, j ∈ I ⟨vi, vj⟩ = δi,j. Toute famille orthogonale formée de vecteurs non nuls est libre. Une famille orthonormale est donc libre.
Repère orthogonal et orthonormal
Si les axes (OI) et (OJ) sont perpendiculaires, alors est un repère orthogonal. Si les axes (OI) et (OJ) sont perpendiculaires, et qu'en plus OI = OJ alors est un repère orthonormal (ou orthonormé).
Ainsi, 0 est valeur propre ssi det(f)=0, ce qui revient à dire que f n'est pas inversible. 0 est valeur propre de f si et seulement s'il existe x non nul tel que f(x)=0.
Deux vecteurs propres d'une ma- trice symétrique réelle associés à deux valeurs pro- pres distinctes sont orthogonaux. Les vecteurs propres associés à λ2 sont définis par la seule condition: - x - y + 4 z = 0.
Ax = λx. Le vecteur x s'appelle un vecteur propre [eigenvector] de A associé `a la valeur propre λ. Définition 7.2 Soit V un K-espace vectoriel et F ∈ L(V,V). Un scalaire λ ∈ K s'appelle une valeur propre de F s'il existe un vecteur v ∈ V, v = 0, tel que f(v) = λv.
Pour montrer que la famille (u, v) est libre, prenons une combinaison linéaire nulle de u et v : λ1u + λ2v = 0. v et donc u et v sont colinéaires, ce qui est absurde par hypothèse. cas possible est λ1 = λ2 = 0, et donc la famille (u, v) est bien libre.
«À la base» signifie «à l'origine», conformément au sens du nom Base, qui désigne ce sur quoi repose une chose ou ce qui sert de point de départ. Elle s'emploie dans des phrases comme «À la base de toute réussite, il y a beaucoup de travail.»
Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si, et seulement si, u ⋅v =0.
Un acide (au sens de Brönsted) est une espèce chimique capable de fournir un proton H+. Exemples : L'acide éthanoïque CH3COOH, le chlorure d'hydrogène HCl. Une base (au sens de Brönsted) est une espèce chimique capable de capter un proton H+. Exemples : L'ion éthanoate CH3COO–, l'ion chlorure Cl–.