Soit f une fonction définie sur un ouvert U de Rn , à valeurs dans Rp et soit a un point de U . On dit que f est différentiable en a s'il existe une application linéaire L de Rn dans Rp telle que f(a+h)=0f(a)+L(h)+o(∥h∥). f ( a + h ) = 0 f ( a ) + L ( h ) + o ( ‖ h ‖ ) .
Soit F : R2 → R une fonction à sections localement équidifférentiables Fy, y ∈ R. Si toutes les sections Fx, x ∈ R sont dans W(F) = ⋃n≥0 Wn(F), alors pour tout ensemble parfait non vide A ⊂ R il existe un intervalle ouvert I tel que I ∩ A = ∅ et F est dérivable (en fonction de deux variables) en chaque point de l'ensemble (A ∩ I) × R.
Si f est différentiable en tout point de U on dit que f est différentiable sur U, et on définit sa différentielle df par df : x ↦→ df(x). Exemple : Une fonction de la variable réelle est différentiable si et seulement si elle est dérivable. Sa différentielle est alors l'application h ↦→ df(a)(h) = hf (a). dfi(a)(h)vi.
Fonction non différentiable aux dérivées partielles. Les dérivées partielles de cette fonction f(x,y) sont nulles à l'origine, ∂f∂x(0,0)=∂f∂y(0,0)=0 .
Une fonction à 2 variables est un objet qui à tout couple de nombres réels (x, y) associe au plus un nombre réel. Si f est une telle fonction, on note f : R × R → R. Si f associe un nombre à (x, y), on note f(x, y) ce nombre. On dit qu'on peut évaluer f en (x, y) et f(x, y) est la valeur de f en (x, y).
Définition : fonction de deux variables
Une fonction de deux variables z=f(x,y) mappe chaque paire ordonnée (x,y) dans un sous-ensemble D du plan réel R2 à un nombre réel unique z. L'ensemble D est appelé le domaine de la fonction.
Une fonction de deux variables est une fonction, c’est-à-dire qu’à chaque entrée est associée exactement une sortie . Les entrées sont des paires ordonnées, (x,y). Les sorties sont des nombres réels (chaque sortie est un seul nombre réel).
Normalement, si l’on soupçonne qu’une fonction est différentiable, le plus simple est de montrer que ses dérivées partielles existent et sont continues . Cela impliquera une différentiabilité (même si ce n’est pas une condition nécessaire).
Si la fonction était dérivable à l'origine, elle aurait un plan tangent à l'origine . Si un plan tangent existait, les pentes devraient correspondre aux dérivées partielles. Dans ce cas, puisque les dérivées partielles sont nulles, la seule option pour le plan tangent est le plan horizontal, comme indiqué ci-dessous.
Si f est une fonction à valeur réelle et que a∈R a ∈ R est dans le domaine de f , alors on dit que f est dérivable en a si la limite limx→af(x)−f(a)x−a lim x → af ( x ) − f ( a ) x − a existe.
Si une fonction y = f ( x ) est dérivable en tout point d'un intervalle on définit la différentielle de cette fonction par : d f = f ′ ( x ) Δ x où est un accroissement arbitraire de la variable.
n × Rm (un plan de R3 si n = 2, m = 1), est dit tangent au graphe de f. Ainsi, par définition, si n = 1, f est dérivable en x SSI elle est différentiable en x et la différentielle est la multiplication par la dérivée. ) = − h x2 + o(h).
Pour savoir si une fonction donnée f est solution ou non d'une équation différentielle ( E ) , il suffit donc de remplacer y par f ( t ) et y ′ par f ′ ( t ) dans le premier membre de l'équation différentielle et de voir, après simplification, si on retrouve le second membre.
Le processus permettant de trouver la dérivée d’une fonction est appelé différenciation. Si x et y sont deux variables, le taux de variation de x par rapport à y est la dérivée.
Si une fonction est différentiable en un point particulier, il s’ensuit qu’elle est continue en ce point . La définition n'a pas besoin d'exiger cela (car elle suit de toute façon), et elle n'exige certainement pas que la fonction soit continue, ni même existe, à partir de ce point.
Rappelons que la dérivée partielle par rapport à x est donnée par la limite de (f(x+h, y) -f(x, y))/h pour h->0 avec une forme similaire pour la dérivée par rapport à y. Si ces limites n'existent pas en (0,0) alors f n'est pas dérivable, directionnellement ou autrement .
Une fonction est formellement considérée comme différentiable si sa dérivée existe en chaque point de son domaine , mais qu'est-ce que cela signifie ? Cela signifie qu'une fonction est différentiable partout où sa dérivée est définie. Ainsi, tant que vous pouvez évaluer la dérivée en chaque point de la courbe, la fonction est différentiable.
Une fonction f(x) est dite dérivable en un point x = a, si la dérivée gauche en (x = a) est égale à la dérivée droite en (x = a), c'est-à-dire LHD en (x = a) = RHD en (x = a), où, Dérivée de droite, Rf' (a) = lim h - > 0 (f(a + h) – f(a)) / h et.
En mathématiques, une fonction différentiable d'une variable réelle est une fonction dont la dérivée existe en chaque point de son domaine . En d’autres termes, le graphique d’une fonction différentiable possède une ligne tangente non verticale en chaque point intérieur de son domaine.
Cette idée éclairera notre définition de la différentiabilité des fonctions multivariables : une fonction sera différentiable en un point si elle a une bonne approximation linéaire, ce qui signifie que la différence entre la fonction et l'approximation linéaire deviendra rapidement petite à mesure que nous nous approchons du point .
Il existe une théorie générale de différenciation des fonctions entre deux espaces normés. Cependant, vous serez peut-être heureux d'apprendre qu'une fonction f:Rn→Rm est continûment différentiable si et seulement si chaque composante fi:Rn→R est continûment différentiable , pour i=1,…,m.
Une 1-forme ω définie sur un ouvert U est exacte s'il existe une fonction F différentiable sur U telle que ω = dF autrement dit : si le champ de vecteurs par lequel ω est le produit scalaire est un champ de gradient.
Si f est différentiable en tout point de U on dit que f est différentiable sur U, et on définit sa différentielle df par df : x ↦→ df(x). Exemple : Une fonction de la variable réelle est différentiable si et seulement si elle est dérivable. Sa différentielle est alors l'application h ↦→ df(a)(h) = hf (a). dfi(a)(h)vi.
Définition 7.1 (Dérivées partielles d'une fonction de deux variables) Soit f une fonction de deux variables x,y . Les dérivées partielles de f par rapport à x et y sont respectivement fx(x,y)=limh→0f(x+h,y)−f(x,y)h,fy(x,y)=limh→ 0f(x,y+h)−f(x,y)h .