Si la fonction f est continue sur I et si fs est continue en a alors f est dérivable en a. Pour une fonction continue sur I, l'existence d'une dérivée symétrique positive suffit pour affirmer que f est croissante et l'existence d'une dérivée symétrique constamment nulle suffit pour prouver que f est constante.
f (x0) = f1 (x0) + if2 (x0). On dit qu'une fonction f est dérivable sur un intervalle I lorsque f est dérivable en tout point de I. On note f la fonction dérivée de f qui à tout x ∈I associe f (x). Si g ne s'annule pas sur I, f g est aussi dérivable sur I et ( f g ) = f g − fg g2 .
Une fonction f:I→R f : I → R est donc dérivable en a si et seulement s'il existe α∈R α ∈ R et une fonction ε définie dans un intervalle J ouvert contenant 0 , vérifiant limh→0ε(h)=0 lim h → 0 ε ( h ) = 0 tels que ∀h∈J, f(a+h)=f(a)+αh+hε(h). ∀ h ∈ J , f ( a + h ) = f ( a ) + α h + h ε ( h ) .
Lorsque a ∈ Z, on a si x → a+, f(x) → a = f(a) et si x → a−, f(x) = a − 1+(a − (a − 1))2 = a = f(a). Donc f est continue sur R.
Dérivabilité et continuité
La dérivabilité d'une fonction ne se cherche donc qu'en des points où la fonction est déjà continue. La réciproque de cette affirmation est fausse : il existe des fonctions continues en a mais non dérivables en ce point.
On dit que f est prolongeable par continuité en x0 s'il existe une fonction g : D ∪ {x0} → R continue en x0 telle que g|D = f. Proposition 2.2.6. Soit f : D → R une fonction, et soit x0 ∈ D\D. Alors f est prolongeable par continuité en x0 si et seulement si f admet une limite (finie) en x0.
Une fonction n'est pas dérivable en un réel a de son domaine si notamment la dérivée à gauche en ce point est différente de la dérivée à droite en ce même point.
Sommaire. On peut déterminer graphiquement la valeur de la dérivée d'une fonction f en un réel a, en utilisant la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse a. On considère la fonction f, dont la courbe représentative C_f est donnée ci-dessous. T_0 est la tangente à C_f au point d'abscisse 0.
Se dit d'une fonction qui a une dérivée. (On distingue, selon les cas, les fonctions dérivables à droite ou à gauche, dérivables sur un intervalle ouvert ou fermé, dérivables n fois ou indéfiniment dérivables.)
Définition intuitive : Une fonction est continue sur un intervalle, si sa courbe représentative peut se tracer sans lever le crayon. Étudier graphiquement la continuité des fonctions et définies et représentées ci-dessous sur l'intervalle [−2 ; 2].
Notion de continuité
On dit qu'une fonction f est continue en a si lim(x→a) f(x)= f(a). On dit qu'une fonction f est continue sur un intervalle I si pour tout x_0∈I lim(x→x0)f(x) = f(x0).
Cette définition exprime que, pour tout point de I , f ( x ) est voisin de f ( x 0 ) quand est voisin de . Plus précisément : pour tout point et tout voisinage V ( f ( x 0 ) ) il existe un voisinage V ( x 0 ) tel que, si appartient à V ( x 0 ) , f ( x ) appartient à V ( f ( x 0 ) ) .
Lorsque l'on commence à étudier les dérivées, on commence par deux définitions importantes ; tout d'abord, la dérivée est la pente de la tangente à la courbe représentative en un point ; ensuite, la dérivée est définie par une limite et n'existe donc que si cette limite existe.
D'après le théorème des fonctions réciproques, la fonction est dérivable en tout point image d'un tel que. Mais on a : f ′ ( x ) = 0 ⇔ x = 0 , donc est dérivable en tout point autre que. Donc est dérivable sur. Représentation graphique de et de dans un repère orthonormé.
Autrement dit, on voit graphiquement qu'une fonction est continue en un point x0 si la courbe passe par le point M0(x0 ; ƒ(x0)) sans coupure. Sinon, la fonction est discontinue en ce point. Soit la fonction f définie sur par f(x) = x2+ 3x + 4 si x > 1 ; f(x) = 5 + 3x si x ≤ 1. et f(1) = 5 + 3 × 1 = 8.
D'après le théorème des fonctions réciproques, la fonction est dérivable en tout point image d'un tel que. Mais on a : f ′ ( x ) = 0 ⇔ x = 0 , donc est dérivable en tout point autre que. Donc est dérivable sur. Représentation graphique de et de dans un repère orthonormé.
Prenons f(x)=x3sin(1x2), f est prolongeable par continuité en 0 et on a f(0)=0. f est aussi dérivable en 0 et on a f′(0)=0. Maintenant en considérant la définition de la 2-dérivabilité ci-dessus, on montre f est 2 fois dérivable en 0.
Démonstration : 4)
Soit x = f − 1 ( y ) ; on a x 0 = f − 1 ( y 0 ) et par conséquent. Or est continue, donc quand tend vers y 0 , x = f − 1 ( y ) tend vers x 0 = f − 1 ( y 0 ) et le rapport x − x 0 f ( x ) − f ( x 0 ) a une limite puisque est dérivable en et que sa dérivée f ′ ( x 0 ) est non nulle.
Pour que la fonction valeur absolue soit dérivable en 0, il doit exister un réel unique L tel que tende vers L lorsque h tend vers 0. Or : si h > 0, donc on aurait L = 1 ; si h < 0, donc on aurait L = −1.
Soit f : [a, b] → R une fonction. (1) Soit x0 ∈]a, b[. Alors f est dérivable en x0 si et seulement si f est dérivable `a droite et `a gauche en x0 et fg(x0) = fd(x0). (2) f est dérivable en a si et seulement si f est dérivable `a droite en a.