On dit qu'une matrice carrée A est nilpotente s'il existe un entier naturel p tel que la matrice Ap soit nulle. L'indice de nilpotence est alors le plus petit p. et 0 l'endomorphisme nul. La plus petite valeur de p vérifiant cela est appelée indice (de nilpotence).
Une matrice nilpotente n'est pas inversible. En effet, soit M une matrice nilpotente, d'indice p. On a alors Mp = 0 et Mp−1 = 0. Supposons M inversible alors Mp−1 = M−1.Mp = 0 c'est absurde.
Un endomorphisme d'un espace de dimension n est nilpotent si et seulement si son polynôme caractéristique est égal à Xn. En effet, le polynôme caractéristique est unitaire, de degré n et a les mêmes facteurs premiers que le polynôme minimal.
Ainsi 0 est la seule valeur propre possible de A. Comme 0 = det(Ak) = det(A)k, A n'est pas inversible et 0 est bien valeur propre. Finalement {0} est le spectre d'une matrice nilpotente.
Une matrice réelle dont toutes les colonnes sont orthogonales deux à deux est inversible si et seulement si elle n'a aucune colonne nulle. Un produit de deux matrices carrées est inversible si et seulement si les deux matrices en facteur le sont aussi.
Déterminant : si n ≥ 2, det(comA) = (detA)n–1. Comatrice de la comatrice : si n ≥ 2, com(comA) = (detA)n–2 A.
1. Une matrice A est diagonalisable si et seulement si la somme des dimensions des sous-espaces propres est égale à l'ordre de la matrice. 2. Si une matrice carrée A d'ordre n admet n valeurs propres différentes, alors A est diagonalisable.
L'indice d'une matrice nilpotente est égal à la dimension de sa plus grande matrice de Jordan.
La similitude est une relation d'équivalence. Deux matrices sont semblables si et seulement si elles représentent le même endomorphisme d'un espace vectoriel dans deux bases (éventuellement) différentes.
En algèbre linéaire, une matrice involutive est une matrice carrée qui est égale à sa propre matrice inverse, c'est-à-dire telle que M-1=M. On a donc M2=I (matrice identité).
L'endomorphisme induit est la double restriction de l'endomorphisme initial avec à la fois un nouvel ensemble de départ et un nouvel ensemble d'arrivée. La condition de stabilité est une condition nécessaire et suffisante pour que cette double restriction soit une application.
Si f est une application linéaire de E dans F, et g une application linéaire de F dans G alors g ◦ f est une application linéaire de E dans G. Le noyau de f est l'ensemble des v ∈ E tels que f(v) = 0. C'est un sous-espace vectoriel de E noté Ker(f).
Critère d'inversibilité : une matrice carrée est inversible si et seulement si on déterminant est différent de 0.
On pourra commencer par étudier le cas A=Jr matrice canonique de rang r. Montrer qu'une matrice A∈ℳn(?) est non inversible si, et seulement si, elle est équivalente à une matrice nilpotente. Soit f:ℳn(?)→? une application vérifiant: f(On)=0, f(In)≠0 et pour tous A,B∈ℳn(?), f(AB)=f(A)f(B).
Définition 1 : Une matrice A ∈ Mn(R) est dîte inversibles'il existe une matrice B ∈ Mn(R) telle que : AB = In et BA = In Si B existe, elle est appelée inverse de A et notée A−1.
Les matrices $ ( 1 1 0 1 ) $ et $ ( 1 0 0 1 ) $ ont même trace et même déterminant, mais ne sont pas semblables. Pour montrer qu'elles ne sont pas semblables, tu suppose qu'il existe P telle que $ ( 1 1 0 1 ) = P^{-1}.
Définition 5 Le polynome minimal d'une matrice A est un polynôme M de degré minimal tel que M(A) = 0 et de coefficient dominant égal à 1. Un tel polynome divise tous les polynomes tels que P(A) = 0, il divise le polynome caractéristique de A et il a les mêmes racines que le polynome caractéristique.
Deux matrices de même rang ne sont pas nécessairement semblables. Ainsi, Deux matrices semblables ont même déterminant. Rappelons qu'une matrice P ∈ Mn(R) est inversible si et seulement si son déterminant est non nul.
Le polynôme caractéristique d'une matrice carrée A est det(A - λI) (c'est un polynôme en λ). ∣ ∣ ∣ ∣ a - λ b c d - λ ∣ ∣ ∣ ∣ = (a -λ)(d -λ)-cd = λ2 -(a +d)λ+ad -bc . Rappel. Les valeurs propre d'une matrice carrée sont les racines de son polynôme caractéristique.
Une matrice est trigonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé dans K[X]. En particulier, si K est algébriquement clos, toute matrice carrée à coefficients dans K est trigonalisable et donc aussi tout endomorphisme d'un K-espace vectoriel de dimension finie.
Construction de la base de Jordan
E est la somme directe des sous-espaces caractéristiques de u. Le sous-espace caractéristique associé à la valeur propre λ est noté ici Eλ. La restriction de u à Eλ est la somme d'une homothétie de rapport λ et d'un endomorphisme nilpotent noté nλ.
Une condition (nécessaire et) suffisante pour qu'un ensemble de matrices diagonalisables soit simultanément diagonalisable est que toutes les matrices de l'ensemble commutent deux à deux. qui est scindé à racines simples sur le corps des complexes. Donc chaque matrice de la représentation est diagonalisable.
La matrice carrée nulle est non-inversible et diagonalisable. Elle est même diagonale. En revanche une matrice carrée est inversible si et seulement si elle n'admet pas 0 pour valeur propre.
Re : Diagonalisation de matrice 4*4
Donc c'est aussi det(B-xI). Les valeurs propres sont bien 1,1,-1,-1. Ensuite pour diagonaliser il faut trouver les vecteurs propres de 1, il faut résoudre Bv = 1v soit (B-1I)v = 0 (il y en a 2). Même chose pour -1: résoudre Bv = -1v soit (B+1I)v = 0, il y en a 2 aussi.