Si les suites (un) et (wn) convergent vers une même limite finie l, alors la suite (vn) est convergente et converge vers cette même limite l. un = l. Si (un) est une suite bornée et si (vn) est une suite convergente vers 0, alors la suite (unvn) converge vers 0.
Les suites de terme général avec entier supérieur ou égal à 1, tendent vers 0 lorsque tend vers . Les suites de terme général , avec –1 < q < 1, tendent vers 0 lorsque tend vers . Une suite est dite divergente si elle n'est pas convergente.
2/ Théorèmes de convergence
* Si (un) est croissante et majorée alors (un) converge. La suite « monte » mais est bloquée par « un mur » donc elle possède une limite finie. * Si (un) est décroissante et minorée alors (un) converge. La suite « descend » mais est bloquée par « un mur » donc elle possède une limite finie.
Pour montrer que ( ) ne converge pas uniformément sur vers , il suffit de trouver une suite ( ) de points de telle que la suite ( f n ( x n ) − f ( x n ) ) ne tende pas vers 0 lorsque tend vers .
Pour démontrer qu'une suite de fonctions (fn) converge uniformément vers f sur I, on peut : étudier les variations de la fonction fn−f f n − f sur I (en la dérivant par exemple) afin de déterminer supx∈I|fn(x)−f(x)| sup x ∈ I | f n ( x ) − f ( x ) | et de démontrer que cette quantité tend vers 0 (voir cet exercice);
On dit que (fn) converge simplement vers f sur I si : ∀ε>0, ∀x∈I, ∃n0∈N tel que ∀n≥n0, |fn(x)−f(x)|≤ε.
En effet, si |xn| ≤ K pour tout n > N alors |xn| ≤ M pour tout n, en posant M = max(|x0|, |x1|, … , |xN|, K). Toute suite convergente est par conséquent bornée (par exemple la suite un = (–1)n/(n + 1), qui converge vers 0, reste comprise entre u1 = –1/2 et u0 = 1).
Si pour tout x, f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) et si les fonctions f et h ont la même limite L en k, alors la limite de la fonction g en k est aussi L. C'est ce théorème que l'on utilise pour établir que la limite de sin(x)/x quand x tend vers 0 est égale à 1.
— Convergence simple : La suite de fonctions (fn) converge simplement vers la fonction nulle. En effet pour chaque x > 0 fixé, fn(x) = 0 pour tout n > 1/x, donc limfn(x)n→+∞ = 0, et on a aussi fn(0) = 0 pour tout n, donc fn(0) → 0 quand n → +∞.
Théorème : Une série à termes positifs converge si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée.
Pour montrer qu'une suite est arithmétique, il faut démontrer que u n + 1 − u n est une constante, pour tout . Pour calculer la raison d'une suite arithmétique, nous pouvons utiliser la définition par récurrence d'une suite arithmétique, u n + 1 = u n + r .
Définition 1.1.2
Soit (un) une suite. On dit que : a) la suite (un) est croissante si pour tout n ∈ : un ⩽ un+1 ; b) la suite (un) est décroissante si pour tout n ∈ : un ⩾ un+1 ; c) la suite (un) est monotone si elle est croissante ou décroissante ; d) la suite (un) est constante si pour tout n ∈ : un+1 = un.
Si la fonction associée f est continue en l, alors la limite de la suite l est solution de l'équation f ( x ) = x f(x) = x f(x)=x. Calculer la limite de la suite (un) définie par u0 = 1 et un+1 = √2 + un.
Après avoir prouvé que l'équation f(x)=k admet une unique solution sur un intervalle [a;b] à l'aide du corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, on peut déterminer un encadrement ou une approximation de la solution de l'équation f(x)=k à l'aide de la calculatrice.
Mais on reste ferme. Le gendarme est un militaire particulier dans le sens où on travaille en permanence en milieu civil. Les collègues en brigade reçoivent les plaintes des gens pour des vols, pour des agressions. Nous, on fait de la sécurité routière sur le réseau routier civil, on n'est pas cantonné au militaire.
Par le principe de récurrence, P(n) P ( n ) est vraie pour tout entier n n et on a bien démontré que la suite (un) ( u n ) est croissante. Si (un) et (vn) sont deux suites adjacentes, alors elles convergent vers la même limite.
Propriété : Toute suite convergente est bornée. Donc si une suite n'est pas bornée, elle n'est pas convergente ! Mais, attention ! Il existe des suites bornées qui ne sont pas convergentes, par exemple la suite de terme général .
On traduit ce théorème en disant que est un corps complet ce qui signifie que toute suite de Cauchy d'éléments de est convergente dans ; est le complété de c'est à dire le plus petit corps complet contenant .
Pour calculer le rayon de convergence on fait souvent appel à la méthode suivante liée à la règle de d'Alembert. Pour z 0 = C ∗ , considérons la série à termes complexes ∑ a n z 0 n . Le terme général est u n = a n z 0 n .
La convergence signifie que deux moyennes mobiles se rejoignent, tandis que la divergence signifie qu'elles s'éloignent l'une de l'autre.
Remarque : Une suite qui est divergente n'admet pas nécessairement de limite infinie. Par exemple, la suite de terme générale (−1) prend alternativement les valeurs –1 et 1. Elle n'admet donc pas de limite finie, ni infinie. Elle est donc divergente.
On dit qu'une suite réelle diverge si elle ne converge pas. Une suite divergente peut soit avoir une limite infinie, soit n'avoir aucune limite.
Une suite (un) est une suite récurrente linéaire d'ordre 2 s'il existe deux nombres a et b tels que, pour tout entier n , on a un+2=aun+1+bun.