Une famille de vecteurs U 1 , U 2 , … , U p est orthogonale si pour tout couple où et sont deux éléments distincts de { 1 , 2 , … , p } , les vecteurs et sont orthogonaux, c'est-à-dire tels que f ( U i , U j ) = 0 .
◦ Soit n un entier. On dit qu'une famille de points {x1,..., xn} de E est orthogonale si ⟨xi, xj⟩ = 0 pour tous i, j avec 1 ≤ i, j ≤ n et i ̸= j. Si de plus ⟨xi, xi⟩ = 1 pour tout i, on dit que cette famille est orthonormée.
Deux droites (d) et (d') sont orthogonales si et seulement si leurs parallèles respectives passant par un même point sont perpendiculaires.
Une base est orthogonale relativement à une forme bilinéaire symétrique si et seulement si la matrice associée à par rapport à cette base est une matrice diagonale, les termes de la diagonale principale pouvant être nuls ou non.
Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si, et seulement si, u ⋅v =0.
On rappelle que deux droites sont orthogonales si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux, c'est-à-dire si le produit scalaire de ces deux vecteurs est nul.
Ces deux vecteurs→u et →v sont colinéaires si z→vz→u z v → z u → est un réel. Ils sont orthogonaux si ce quotient est un imaginaire pur. Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct (O;→u;→v) ( O ; u → ; v → ) (…).
Definition. - par convention, le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur. Les vecteurs et sont dits orthogonaux si les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires.
En géométrie vectorielle, une base orthonormale ou base orthonormée (BON) d'un espace euclidien ou hermitien est une base de cet espace vectoriel constituée de vecteurs de norme 1 et orthogonaux deux à deux.
Deux droites sont orthogonales si leurs parallèles respectives passant par un même point sont perpendiculaires. Exemple : On considère le parallélépipède rectangle ABCDEFGH : Les droites (AB) et (CG) sont orthogonales car la parallèle (DC) à (AB) est perpendiculaire en C à (CG).
L'orthogonal d'un sous-espace vectoriel engendré par une famille finie de vecteurs de est égal à l'orthogonal de cette famille : si F = V e c t ( { u 1 , u 2 , . . . , u p } ) alors F ⊥ = { u 1 , u 2 , . . . , u p } ⊥ .
Le déterminant de u et v est le réel det(u ;v )=xy′−yx′. Propriété : Deux vecteurs sont colinéaires si, et seulement si, leur déterminant est nul. Le déterminant de u (−3 ;9) et v (1 ;−3) est det(u ;v )=(−3)×(−3)−9×1=0.
Dans l'espace, deux droites sont orthogonales si elles sont chacune parallèles à des droites se coupant en angle droit ; deux perpendiculaires étant deux droites orthogonales et sécantes.
Dans un espace vectoriel euclidien, une famille (e1,…,ep) ( e 1 , … , e p ) est dite orthonormale (on dit aussi orthonormée) si elle est constituée de vecteurs unitaires (de norme 1) deux à deux orthogonaux.
Un repère orthonormé regroupe les propriétés des repères orthogonal et normé, c'est-à-dire les longueurs O I OI OI et O J OJ OJ sont égales et les droites (OI) et (OJ) sont perpendiculaires en O.
Pour calculer la norme d'un vecteur, il faut utiliser la formule ‖ v → ‖ = v x 2 + v y 2 .
Un repère orthogonal du plan est composé de deux droites graduées perpendiculaires et de même origine. L'une horizontale est appelée axe des abscisses et l'autre verticale est appelée axe des ordonnées. Définition 2 : Chaque point est repéré par deux nombres appelées coordonnées du point.
Les caractéristiques d'un vecteur sont sa direction, son sens et sa norme. Un vecteur qui a le même point pour origine et pour extrémité est appelé vecteur nul et est noté . Ce vecteur n'a pas de direction, pas de sens et sa norme est égale à 0. Deux vecteurs égaux ont la même direction, le même sens et la même norme.
II) Affixe d'un vecteur
Le nombre complexe z=a+ib est appelé l'affixe du vecteur →w, noté →w(z). En particulier, si M a pour affixe z, alors →OM a aussi pour affixe z. Les vecteurs →w et →OM sont les images vectorielles de z. Soient →w1(z1) et →w2(z2) deux vecteurs.
L'argument d'un nombre complexe 𝑧 = 𝑎 + 𝑏 𝑖 peut être obtenu en utilisant la réciproque de la fonction tangente dans chaque quadrant : Si l'image de 𝑧 se situe dans le premier ou le quatrième quadrant, a r g a r c t a n ( 𝑧 ) = 𝑏 𝑎 .
Il s'agit d'une opération de multiplication entre deux vecteurs donnant comme résultat un scalaire, c'est-à-dire un nombre. Il est noté en général avec un point →u⋅→v.
Pour une droite Δ et un point A∉Δ, le projeté orthogonal du point A sur la droite Δ est le point H∈Δ tel que le vecteur →AH est orthogonal à la droite Δ, c'est-à-dire que →AH est un vecteur normal à la droite Δ.
Critère des pentes. Deux droites sont perpendiculaires si et seulement si le produit de leurs pentes est égal à -1.
Deux droites orthogonales ne sont pas nécessairement perpendiculaires, elles ne le sont que si elles sont coplanaires. Deux droites orthogonales à une même troisième ne sont pas nécessairement parallèles. Si deux droites sont parallèles, toute droite orthogonale à l'une est orthogonale à l'autre.