Dire que f est minorée sur un intervalle I c'est dire qu'il y a un nombre m tel que pour tout nombre x de I, on a f(x)>=m. On dit aussi que m minore f sur I, ou que f est minorée par f sur I. Si m minore f sur i, pour tout nombre n<m, n minore f sur I. Avec ça, on peut se débrouiller.
f est minorée sur I , s' il existe un réel m tel que pour tout x de I , f ( x ) ≥ m . On dit que m est un minorant de f . f est bornée sur I , si elle est minorée et majorée sur I . Tout réel M' supérieur à M est aussi un majorant de f .
Pour minorer fg par un nombre strictement positif, avec f et g strictement positives, on minore f et g par des nombres strictement positifs, et on multiplie les deux minorants trouvés.
Fonctions minorées
On dit qu'une fonction numérique (f,D) est 'minorée sur D' sur l'ensemble f(D) est minoré, autrement dit s'il existe un réel m tel que f(x)≥m ∀x∈D. Illustration: Il résulte de cette définition que: Si f est minorée sur D, alors l'ensemble f(D) possède une borne inférieure.
Soit f:E->R une fonction. * f est majorée si f(x)< (ou =) M pour tout E de U. On dit alors que M est un majorant de f.
1. Diminuer l'importance de quelque chose, lui accorder une valeur moindre : Minorer un incident diplomatique. 2. Porter quelque chose à un chiffre inférieur : Minorer les prix de 10 %.
Soit f : I → R une fonction continue. Alors – f est bornée : il existe M ≥ 0 tel que pour tout x ∈ I, |f(x)| ≤ M ; – f atteint ses bornes : il existe c1, c2 ∈ I tel que f(c1) = min{f(x) | x ∈ I}, f(c2) = max{f(x) | x ∈ I}. Preuve.
Si la fonction f n'est pas majorée, alors il existe au moins un réel x tel que f(x) > M. Si la fonction f est croissante, alors toutes les valeurs de x telles que f(x) > M sont contenues dans l'intervalle ]M ; + ∞[. Ainsi la fonction f tend vers + ∞ quand x tend vers + ∞.
Les bornes (supérieure et inférieure) d'une fonction se lisent sur son TV : ce sont le plus grand et le plus petit des nombres qui apparaissent dans la ligne des y.
Un espace sur lequel toute fonction continue à valeurs réelles est bornée s'appelle un espace pseudo-compact (en). Sur un tel espace, toute fonction continue f à valeurs réelles atteint automatiquement sa borne supérieure M (sinon, la fonction 1/(M – f) serait continue et non bornée) et, de même, sa borne inférieure.
1. Augmenter de tant le prix, la valeur ou le montant de quelque chose : Majorer de 10 % les salaires. 2. Estimer quelque chose au-dessus de sa valeur véritable : Facture majorée de 10 %.
majoration n.f. Action de majorer ; hausse, relèvement, augmentation.
La méthode la plus élémentaire consiste à poser f(x)=ln(1+x)−x pour x>0. On dresse alors le tableau de variation de f pour constater que f est décroissante et "présente donc un minimum" lorsque x tend vers 0 et limx→0+f(x)=0.
La notion naturelle de convergence pour une suite de fonctions (fn) est celle que l'on a vue pour les courbes représentatives. On veut pouvoir dire que la suite de fonctions (fn) converge vers f lorsque la courbe représentative de la fonction fn se rapproche, quand n tend vers l'infini, de celle de f.
Une fonction f est périodique s'il existe un nombre réel positif p tel que, pour tout x et (x + p) du domaine de f, on a f(x + p) = f(x) ou f(x – p) = f(x). Les fonctions trigonométriques sinus, cosinus et tangente sont des fonctions périodiques.
Une fonction est constante si et seulement si son image est réduite à un singleton. Une fonction constante d'une variable réelle est représentée par une droite parallèle à l'axe des abscisses. La dérivée d'une fonction constante est nulle.
Déterminer l'ensemble de définition à partir de l'expression de f(x) Si on donne l'expression d'une fonction f, par exemple f(x)=x²+3x, l'ensemble de définition a priori sera l'ensemble de tous les réels de -∞ jusqu'à +∞. On pourra alors noter Df= .
Déjà une limite peut se calculer pour tous les x, c'est-à-dire que le x peut tendre vers -∞, -9, 4, ½, π, 0, +∞, etc… En gros, pour calculer une limite, on remplace le x dans la fonction par vers quoi il tend.
Soit f:I→R f : I → R une fonction et a∈I a ∈ I . On dit que f est continue en a si f admet pour limite f(a) en a : ∀ε>0, ∃η>0, ∀x∈I, |x−a|<η⟹|f(x)−f(a)|<ε.
On dit que la suite u est minorée lorsqu'il existe un réel m tel que pour tout entier naturel n, un ≥ m. Le nombre m est alors appelé un minorant de la suite u. On dit que la suite u est bornée lorsqu'elle est à la fois majorée et minorée.
b. Soit B = { x ∈ R , x = l n ( 1 + n ) , n ∈ N } ; -10, 0 sont des minorants de ; est une partie minorée de mais n'est pas majorée (il existe des éléments de arbitrairement grands). On remarque que 0 est un minorant de qui appartient à .
Une fonction f définie dans un sous-ensemble E de nombres réels admet un minimum m en un point a de E si m = f(a) et si, quel que soit x de E, f(x) est supérieur ou égal à f(a). On dit alors que m est le minimum de l'ensemble des images de f.
Lorsque l'ensemble ordonné est celui des réels, l'existence d'une borne supérieure est assurée pour toute partie non vide et majorée : on dit que ℝ possède la propriété de la borne supérieure. Cette même propriété assure aussi l'existence d'une borne inférieure pour tout ensemble non vide et minoré de réels.
Si l'on veut définir une fonction sur un intervalle et obtenir sa courbe il faut saisir : Fonction[expression en fonction de x, borne inf, borne sup]. Par exemple : si on tape dans la ligne de saisie la séquence Fonction[x²,- 4,3], on obtient le tracé de la parabole sur l'intervalle [-4 ;3].
La courbe représentative d'une fonction f est l'ensemble des points M(x;y) tels que f(x)=y et x∈Df. On peut en tracer une allure si l'on connaît une expression de la fonction. On considère la fonction f définie, pour tout réel x, par f\left(x\right) = 2x^2-x+1.