Pour la multiplication/division d'un vecteur par un nombre réel, il suffit de multipler/diviser les coordonnées. Exemples avec les points A(-4;6),B(-1;9),C(1;9) de la figure précédente : 2 AB → ( 2 ( x B - x A ) ; 2 ( y B - y A ) ⇒ 2 AB → ( 6 ; 6 ) -3 AC → ( -3 ( x C - x A ) ; -3 ( y C - y A ) ) ⇒ -3 AC → ( -18 ; 12 )
Si nous avons deux vecteurs u → = ( u x u y u z ) et v → = ( v x v y v z ) , la formule du produit vectoriel est donnée par u → ∧ v → = ( u 2 v 3 − u 3 v 2 u 3 v 1 − u 1 v 3 u 1 v 2 − u 2 v 1 ) Pour te rappeler de cette formule tu peux également considérer le produit vectoriel comme étant le déterminant de la matrice ...
Pour calculer les coordonnées de la différence de deux vecteurs, on soustrait les coordonnées de chacun des vecteurs. Pour calculer les coordonnées du produit d'un vecteur par un scalaire, on multiplie chacune des coordonnées par le scalaire.
Calcul vectoriel - Points clés
Pour faire la somme de deux vecteurs, il faut additionner les composantes respectives des vecteurs. La relation de Chasles peut s'énoncer de la façon suivante : A C → = A B → + B C → .
Soit u et v deux vecteurs de coordonnées u (xy) et v (x′y′). Alors u ⋅v =xx′+yy′. Exemple : Soit u et v deux vecteurs de coordonnées u (20,5) et v (3−4). Alors u ⋅v =2×3+0,5×(−4)=6−2=4.
Le produit scalaire est distributif : ⃑ 𝑢 ⋅ ⃑ 𝑣 + ⃑ 𝑤 = ⃑ 𝑢 ⋅ ⃑ 𝑣 + ⃑ 𝑢 ⋅ ⃑ 𝑤 . Le produit scalaire de deux vecteurs ⃑ 𝑢 et ⃑ 𝑣 est égal au produit de leurs normes et du cosinus de l'angle qu'ils forment : ⃑ 𝑢 ⋅ ⃑ 𝑣 = ‖ ‖ ⃑ 𝑢 ‖ ‖ ⋅ ‖ ‖ ⃑ 𝑣 ‖ ‖ ⋅ 𝜃 , c o s où 𝜃 est l'angle entre ⃑ 𝑢 et ⃑ 𝑣 .
Soient u et v , deux vecteurs de coordonnées respectives (xy) et (x′y′). Le déterminant de u et v est le réel det(u ;v )=xy′−yx′. Propriété : Deux vecteurs sont colinéaires si, et seulement si, leur déterminant est nul. Le déterminant de u (−3 ;9) et v (1 ;−3) est det(u ;v )=(−3)×(−3)−9×1=0.
Quand une force A et une force B agissent sur un objet dans le même sens (vecteurs colinéaires), la force résultante (C) est égale à A + B, dans la direction de A et B.
Nous commençons par rappeler qu'en coordonnées cartésiennes, la soustraction de vecteurs peut être effectuée en soustrayant les composantes correspondantes des vecteurs. Si ⃑ 𝑢 = 𝑎 ⃑ 𝑖 + 𝑏 ⃑ 𝑗 et ⃑ 𝑣 = 𝑐 ⃑ 𝑖 + 𝑑 ⃑ 𝑗 , alors ⃑ 𝑢 − ⃑ 𝑣 = ( 𝑎 − 𝑐 ) ⃑ 𝑖 + ( 𝑏 − 𝑑 ) ⃑ 𝑗 .
Fiches méthodes. Si on a une fonction et qu'on cherche les coordonnées d'un point de sa courbe représentative : on choisit une valeur de x et on calcule y = f(x) en remplaçant x dans l'expression f(x) donnée. On obtient ainsi les coordonnées ( x ; y = f(x) ) d'un point de la représentation graphique de la fonction f.
Le milieu d'un segment est le point situé à égale distance des deux extrémités. On peut trouver les coordonnées du milieu de 𝐴 𝐵 en divisant par deux chacune les distances horizontales et verticales entre 𝐴 et 𝐵 .
Étymologiquement, colinéaire signifie sur une même ligne : en géométrie classique, deux vecteurs sont colinéaires si on peut en trouver deux représentants situés sur une même droite. sont parallèles. Cette équivalence explique l'importance que prend la colinéarité en géométrie affine.
Le produit vectoriel est une opération qui peut être appliquée à deux vecteurs et qui produit un autre vecteur. Le produit vectoriel est utilisé dans de nombreux domaines de la physique. Il peut notamment être utile pour calculer le couple sur un objet.
Le produit scalaire possède de multiples applications. En physique, il est, par exemple, utilisé pour modéliser le travail d'une force. En géométrie analytique il permet de déterminer le caractère perpendiculaire de deux droites ou d'une droite et d'un plan.
La force résultante représente la force obtenue par l'addition vectorielle de toutes les forces en présence sur un objet. Une force résultante est équivalente à l'ensemble des forces appliquées sur l'objet.
La norme d'un vecteur correspond à sa longueur, c'est-à-dire à la distance qui sépare les deux points qui définissent le vecteur.
La norme du moment 𝑀 dû à une force d'intensité 𝐹 par rapport à un point est égale au produit de l'intensité de la force et de la distance perpendiculaire 𝑑 de la ligne d'action de la force au point par rapport auquel le moment est calculé. Elle peut être exprimée par 𝑀 = 𝐹 𝑑 .
On trouve les coordonnées de chaque vecteur. On regarde si les coordonnées des vecteurs sont proportionnelles. Si les coordonnées sont proportionnelles, alors les vecteurs sont colinéaires. Si les coordonnées ne sont pas proportionnelles, alors les vecteurs ne sont pas colinéaires.
Définition : Deux vecteurs et non nuls sont dits colinéaires si et seulement si il existe un nombre réel λ tel que u → = λ v → c'est à dire si est un "multiple" de . Par convention, on dira que le vecteur est colinéaire à tout vecteur.
Remarques : Deux vecteurs non nuls sont colinéaires si et seulement s'ils ont la même direction. Le vecteur est colinéaire à tout vecteur du plan.
Produit scalaire et vecteurs colinéaires
Si ⃗ AB et ⃗ CD sont deux vecteurs colinéaires non nuls, alors : 1er cas, vecteurs de même sens : ⃗ ⋅ C D ⃗ = A B × C D \vec {AB}\cdot \vec {CD}=AB\times CD AB ⋅CD =AB×CD.
En mathématiques, et plus précisément en géométrie, le produit vectoriel est une opération vectorielle effectuée dans les espaces euclidiens orientés de dimension 3. Le formalisme utilisé actuellement est apparu en 1881 dans un manuel d'analyse vectorielle écrit par Josiah Willard Gibbs pour ses étudiants en physique.
Si les vecteurs sont parallèles et de même sens, leur produit scalaire est égal au produit de leurs longueurs. En effet : α = 0 et cos 0 = 1 . Si les vecteurs sont parallèles et de sens contraires, leur produit scalaire est égal à l'opposé du produit de leurs longueurs. En effet : α = π et cos π = - 1 .