Quand on coupe deux droites sécantes au point A par deux droites parallèles (MN) et (BC), on obtient deux triangles ABC et AMN. Le théorème de Thalès énonce que, dans ce type de configuration, les longueurs des côtés d'un triangle sont proportionnels aux côtés associés de l'autre triangle.
Théorème de Thalès (appliqué au triangle)
D'après le théorème de Thalès, si les droites (BC) et (MN) sont parallèles, alors on a l'égalité : \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} =\frac{MN}{BC}.
D'après le théorème de Thalès, on a AB AM = AC AN = BC MN , soit 3 7 = AC 4 = BC MN . On utilise la propriété des produits en croix pour calculer la longueur demandée. Calcul de AC : 7 × AC = 3 × 4 soit AC = 3 × 4 7 = 12 7 donc AC = 12 7 cm.
Le théorème de Thalès est très utile lorsqu'on recherche une ou des mesures manquantes dans une figure formée par des sécantes qui croisent des droites parallèles. Remarque : Le théorème de Thalès s'applique peu importe si les sécantes (EC et BD) se croisent à l'extérieur ou à l'intérieur des parallèles (ED et BC).
Théorème : Si un triangle est rectangle, alors le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
Si AB² = AC² + BC² alors le triangle ABC est rectangle en C. Si AB² n'est pas égal à AC² + BC² alors le triangle n'est pas rectangle en C. En effet, si le carré de la longueur du plus grand côté d'un triangle n'est pas égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés alors ce triangle n'est pas rectangle.
Les produits en croix sont égaux donc CD / AC = CE / BC. On sait également que les points A,D,C et B,E,C sont alignés dans le même ordre. Donc d'après la réciproque du théorème de Thalès (AB) et (DE) sont parallèles.
Soient deux droites (MB) et (NC) sécantes en un point A. Si AM AB = AN AC et si les points A,B et M d'une part et les points A, C et N d'autre part sont alignés dans le même ordre alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles.
Théorème fondamental de l'algèbre. Théorème d'apprentissage. Théorème d'Archimède. Théorème fondamental de l'arithmétique.
AB/AC=AE/AD.
Comme le théorème de Thalès est ainsi structuré : « Si des droites sont parallèles, alors des quotients de longueurs de segment sont égaux ». Sa réciproque ne peut être que de la forme : « Si des quotients de longueurs de segment sont égaux, alors des droites sont parallèles. »
L'hypoténuse d'un triangle rectangle est le côté qui est en face de l'angle droit. C'est le plus long des trois côtés du triangle.
Si, dans un triangle, la longueur de la médiane issue du sommet opposé au plus grand côté vaut la moitié de la longueur de ce côté, alors le triangle est rectangle.
Grâce à la propriété de Pythagore
Si dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle et l'angle droit est l'angle opposé au plus grand côté, et le plus grand côté de ce triangle est son hypoténuse.
En géométrie euclidienne, un triangle rectangle est un triangle dont l'un des angles est droit. Les deux autres angles sont alors complémentaires, de mesure strictement inférieure. On nomme alors hypoténuse le côté opposé à l'angle droit. Les deux autres côtés, adjacents à l'angle droit, sont appelés cathètes.
Si un triangle est inscrit dans un cercle de diamètre un des côtés, alors ce triangle est rectangle d'hypoténuse ce côté. sommet et perpendiculaire au côté opposé à ce sommet.
Exemple : Soit un triangle ABC tel que AB = 5 cm, BC = 12 cm et AC = 13 cm. Montrer que le triangle ABC est rectangle. L'égalité de Pythagore est vérifiée, le triangle ABC est donc rectangle en B car [AC] est l'hypoténuse. (On parle de réciproque du théorème de Pythagore).
Avant de plonger dans la définition approfondie, un triangle scalène est un triangle qui n'a pas de côtés égaux. Aucun de ses trois côtés n'est égal à l'autre et il n'a pas non plus d'angles égaux.
En géométrie, un triangle isocèle est un triangle ayant au moins deux côtés de même longueur.
Théorème de Pythagore : Dans un triangle ABC rectangle en A, on a BC2=AB2+AC2. On peut réécrire cette égalité en AB2=BC2−AC2 pour déterminer la longueur AB ou en AC2=BC2−AB2 pour déterminer la longueur AC.
La réciproque du théorème de Thalès sert à montrer que deux droites sont parallèles.
Le théorème de Thalès est utilisé pour démontrer la proportionnalité des segments lorsque deux droites sont coupées par des droites parallèles. Il est souvent utilisé pour calculer une longueur manquante dans un triangle ou pour prouver que deux droites sont parallèles.
Le théorème de Thalès sert donc à calculer les longueurs dans une figure géométrique composée de triangles.
Dans le cas d'un triangle rectangle ABC rectangle en B, la tangente de l'angle A est égale à la longueur du côté opposé à l'angle A divisée par la longueur du côté adjacent à l'angle A, donc tan A = BC/BA.