En mathématiques, plus précisément en théorie des ensembles, un ensemble infini est un ensemble qui n'est pas fini, c'est-à-dire qu'il n'y a aucun moyen de « compter » les éléments de cet ensemble à l'aide d'un ensemble borné d'entiers. Un ensemble en bijection avec un ensemble infini est donc infini.
Il est impossible de prouver l'existence d'un ensemble infini sans la supposer. Plus exactement, il est possible de définir une théorie des ensembles parfaitement cohérente qui affirmerait que tous les ensembles seraient finis.
Un ensemble E est fini au sens de Tarski quand toute famille non vide de parties de E admet un élément minimal pour l'inclusion, ou encore (par passage aux complémentaires) quand toute famille non vide de parties de E admet un élément maximal pour l'inclusion.
Que dire des cardinaux infinis? N={0,1,2,3,....} N = { 0 , 1 , 2 , 3 , . . . . } est un ensemble infini, et son cardinal est le plus petit nombre cardinal infini.
1. Sans limites dans le temps ou l'espace : La suite infinie des nombres. 2. Qui est d'une grandeur, d'une intensité si grande qu'on ne peut le mesurer : Il est resté absent un temps infini.
Une lemniscate est une courbe plane ayant la forme d'un 8.
Des mathématiques à la physique
Zénon d'Elée (~450 av. JC) tente de montrer l'impossibilité « physique » de l'infini, non plus en le mesurant, mais au contraire en s'en servant pour diviser les choses en éléments toujours plus petits.
En mathématiques, plus précisément en théorie des ensembles, un ensemble infini est un ensemble qui n'est pas fini, c'est-à-dire qu'il n'y a aucun moyen de « compter » les éléments de cet ensemble à l'aide d'un ensemble borné d'entiers. Un ensemble en bijection avec un ensemble infini est donc infini.
Le fait que l'univers soit fini ou infini dépend alors de sa courbure. Si notre univers est plat ou hyperbolique, alors il peut être soit fini soit infini. Il pourrait même être fini dans une direction et infini dans une autre. Par contre, si l'univers est sphérique, alors il est forcément fini.
L'infini n'étant pas un nombre, il n'appartient pas à R. On peut montrer que pour tout nombre appartenant à R, il y a un nombre plus grand (il suffit par exemple d'additionner 1).
Un ensemble fini est un ensemble qui possède un nombre d'éléments déterminé. Ce nombre d'éléments est un nombre naturel. Un ensemble infini est un ensemble qui possède un nombre d'éléments indéterminé. Cela signifie qu'il contient une infinité d'éléments.
En effet Z, ensemble des entiers relatifs, est dénombrable ainsi que N*, ensemble des entiers strictement positifs, et donc leur produit cartésien Z × N*. Tout rationnel s'écrit d'au moins une manière sous la forme d'une fraction p/q où p ∈ Z et q ∈ N*.
L'égalité est définie par extensionnalité, deux ensembles sont égaux quand ils ont les mêmes éléments, c'est-à-dire que : A = B si et seulement si ∀ x ∈ U (x ∈ A ⇔ x ∈ B).
C'est le mathématicien britannique John Wallis (1616–1703) qui, le premier, abrégea le concept «infini» par ce symbole. John Wallis a largement contribué au développement des mathématiques de son époque, tant dans leur contenu que dans leur forme.
Il faut savoir que des mathématiciens sont allés encore plus loin. Ils ont nommé un nombre encore plus grand : le "Googolplex", c'est un 1 suivi d'un googol de zéros, un nombre si immense qu'il y a davantage de zéros dans l'écriture de ce nombre que d'atomes dans l'univers.
Le symbole de l'infini a été utilisé pour la première fois par le mathématicien John Wallis, en 1655.
Ainsi, les limites de l'Univers observable correspondent au lieu le plus lointain de l'Univers pour lesquelles la lumière a mis moins de 13,82 milliards d'années à parvenir à l'observateur, ce qui le place immanquablement au centre de son Univers observable.
« Personne ne connaît la taille exacte de l'univers, car nous ne pouvons en voir le bout – si tant est qu'il y en ait un. Tout ce que nous savons, c'est que l'univers visible s'étend sur une distance d'au moins 93 milliards d'années lumière.
Vous avez sûrement entendu parler de la théorie du Big-Bang, qui décrit comment l'Univers est « né » d'un amas de matière très dense et très chaud il y a environ 13,7 milliards d'années. Une dilatation progressive, comme un ballon qu'on gonfle.
On dit qu'une suite tend vers +∞ si tout intervalle de la forme ]A, +∞[ contient tous les termes de la suite sauf un nombre fini d'entre eux (c. -à-d. contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang).
Voici comment : 0 est identifié à l'ensemble vide.
D'une certaine manière, mathématiquement, l'infini, c'est ça : pouvoir toujours ajouter 1 à n'importe quel nombre, aussi grand soit-il, et construire ainsi des nombres de plus en plus grands. On en vient donc à la conclusion qu'il n'y a pas de nombre plus grand que tous les autres.
Le mathématicien Euclide
Euclide (né en -325 en Grèce Antique) était un mathématicien grec, auteur du Traité des mathématiques qui est le texte fondateur des mathématiques en Occident. Son œuvre, les Éléments est la plus connue et apporte une description et explication des théorèmes appuyés par des démonstrations.
En effet, nul ne peut dire de l'être qu'il est et qu'il n'est pas, ni dire qu'un être est à certains endroits et pas à d'autres. C'est pourquoi l'être est infini en grandeur, c'est-à-dire qu'il n'y a pas de limite à l'être.
Il s'agit d'Artur Avila, un Français d'origine brésilienne directeur de recherche au Centre national de la recherche scientifique, de Manjul Bhargava, un Américain professeur à l'Université de Princeton, et de Martin Hairer, un Autrichien, chercheur à l'Université de Warwick en Grande-Bretagne. Un profil polyvalent.