Une matrice est sous forme échelonnée réduite (FER) si elle satisfait aux trois conditions suivantes : À chaque ligne, l'élément non nul le plus à gauche est 1 et les autres éléments de la colonne qui contient ce 1 sont tous nuls. Ce 1 est un pivot de la matrice.
Définition - Une matrice est échelonnée si le nombre de 0 au début de chaque ligne est strictement croissant quand on passe d'une ligne à la suivante. Le premier élément non nul de chaque ligne dans une matrice échelonnée s'appelle le pivot.
Réduire une matrice consiste à chercher une matrice semblable la plus simple possible : dans le meilleur des cas, une matrice diagonale (dont tous les éléments non diagonaux sont nuls — il s'agit alors d'une diagonalisation), sinon une matrice triangulaire supérieure (dont tous les éléments sous-diagonaux sont nuls — ...
Le rang d'une matrice de taille 𝑚 × 𝑛 , 𝐴 , noté, r g ( 𝐴 ) , est égal au nombre de lignes/colonnes de la plus grand sous-matrice carrée de 𝐴 (qui peut être 𝐴 elle-même) de déterminant non nul. 0 ⩽ ( 𝐴 ) ⩽ ( 𝑚 ; 𝑛 ) r g m i n . On a r g ( 𝐴 ) = 0 si et seulement si 𝐴 est la matrice nulle 0 .
Pour calculer le déterminant d'une matrice 3 × 3 , nous pouvons utiliser la méthode de développement par les cofacteurs en choisissant une ligne ou une colonne spécifique de la matrice, en calculant les mineurs pour chaque élément de celle-ci et en alternant les signes en fonction des cofacteurs.
Une matrice carrée à coefficients dans K ( K = R ou K = C ) est diagonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé sur K et, pour chaque valeur propre, la dimension du sous-espace propre associé est égale à son ordre de multiplicité en tant que racine du polynôme caractéristique.
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Une matrice est trigonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé dans K[X]. En particulier, si K est algébriquement clos, toute matrice carrée à coefficients dans K est trigonalisable et donc aussi tout endomorphisme d'un K-espace vectoriel de dimension finie.
La diagonalisation de matrices sert surtout en physique (via le théorème spectral) pour déterminer certaines caractèristiques invariantes de systèmes. (Comme en mathématique on détermine les vecteurs invariants à un facteur près sous une une application linéaire, appelés vecteurs propres).
Un système est échelonné si : le nombre de coefficients nuls commençant une ligne croît strictement ligne après ligne. Il est échelonné réduit si en plus : le premier coefficient non nul d'une ligne vaut 1; et c'est le seul élément non nul de sa colonne.
Elle s'utilise notamment pour leur résolution numérique à l'aide d'un programme informatique, et permet la résolution de systèmes comptant un grand nombre d'inconnues et d'équations (plusieurs centaines, voire plusieurs milliers).
La méthode consiste à rendre ce système triangulaire en effectuant des combinaisons linéaires : . On conserve la ligne 1 puis on élimine x dans les deux autres équations en effectuant une combinaison linéaire entre la ligne 1 et la ligne 2, puis la ligne 1 et la ligne 3.
Cas d'une matrice A carrée (n = p) inversible. Dans ce cas, la forme totalement échelonnée de A est R = Idn. Le syst`eme Ax = 0 est équivalent au syst`eme Rx = 0, et on en déduit donc que x = 0 est l'unique solution du syst`eme linéaire Ax = 0.
Méthode n°2 : Une matrice A est inversible si et seulement si la famille formée par ses vecteurs colonnes est libre. Autrement dit, si vous remarquez une combinaison linéaire entre les vecteurs colonnes de la matrice A, alors cette famille est liée, donc elle n'est pas libre, donc A n'est pas inversible.
En mathématiques et plus particulièrement en algèbre linéaire, une matrice inversible (ou régulière ou encore non singulière) est une matrice carrée A pour laquelle il existe une matrice B de même taille n avec laquelle les produits AB et BA sont égaux à la matrice identité.
En particulier, toute matrice diagonale est diagonalisable.
1. Une matrice A est diagonalisable si et seulement si la somme des dimensions des sous-espaces propres est égale à l'ordre de la matrice. 2. Si une matrice carrée A d'ordre n admet n valeurs propres différentes, alors A est diagonalisable.
Si pour chaque valeur propre, la dimension du sous-espace propre est égale à la multiplicité de la valeur propre comme racine de CA , alors la matrice est diagonalisable, et une base de vecteurs propres est donnée en prenant la réunion des bases trouvées pour chaque sous-espace propre.
La matrice diagonale est donc formée des valeurs propres . La diagonalisation d'une matrice est utilisée dans la recherche de puissance de matrices à un ordre n ∈ N ∗ . En effet, de D = P − 1 A P en prémultipliant par et en postmultipliant par , nous avons : P D P − 1 = P P − 1 A P P − 1 = A ⇒ A = P D P − 1 .
Pour les matrices, la division n'existe pas. Nous pouvons les additionner, les soustraire et les multiplier, mais nous ne pouvons pas diviser les matrices.
Question d'origine : Est ce qu'on peut dire que la matrice nulle est une matrice diagonale ? Oui (si elle est carrée).
La matrice A étant triangulaire supérieure son polynôme caractéristique est ( 1 − X ) ( 2 − X ) ( 3 − X ) . Il est scindé et chaque valeur propre a pour multiplicité 1 : elle est donc diagonalisable.
Deux matrices sont semblables si et seulement si elles représentent le même endomorphisme d'un espace vectoriel dans deux bases (éventuellement) différentes.