Tout vecteur peut être exprimé sous la forme 𝑥 ⃑ 𝑖 + 𝑦 ⃑ 𝑗 + 𝑧 ⃑ 𝑘 . On peut, alternativement, l'écrire sous forme de composantes comme suit : ( 𝑥 , 𝑦 , 𝑧 ) et 𝑥 𝑦 𝑧 .
Géométriquement, on le représente par une flèche (ou un segment dirigé, la flèche indiquant le sens) reliant son origine à son extrémité. Le sens du vecteur est le sens du déplacement de son origine vers son extrémité et sa norme est la distance entre les deux points (ou la longueur du segment entre les deux points).
Les coordonnées d'un vecteur v de notre espace vectoriel favori R2 dans une base (i,j) sont deux nombres x et y qui vérifient l'équation caractéristique des coordonnées : v = xi + yj. La recherche des coordonnées est donc un probl`eme de décomposition linéaire.
Trois points non alignés, O, I et J définissent un repère du plan. Si les droites (OI) et (OJ) sont perpendiculaires et si OI = OJ = 1 unité, le repère (O, I, J) est orthonormal. Tout point M du plan peut être repéré par deux coordonnées, son abscisse xM et son ordonnée yM .
Définition : Un vecteur de l'espace est défini par une direction de l'espace, un sens et une norme (longueur). Remarque : Les vecteurs de l'espace suivent les mêmes règles de construction qu'en géométrie plane : Relation de Chasles, propriétés en rapport avec la colinéarité, … restent valides.
Pour calculer la norme d'un vecteur, il faut utiliser la formule ‖ v → ‖ = v x 2 + v y 2 .
Pour montrer que les vecteurs sont linéairement indépendants, on résout le système associé à l'équation vectorielle a \vec{u}+b \vec{v}+c \vec{w}=\overrightarrow{0} : on doit obtenir a=b=c=0. Les vecteurs étant linéairement indépendants, ils forment une base de l'espace.
Le repérage spatial. La structuration spatiale est la capacité de se situer, de s'orienter, de s'organiser dans son environnement. Cette structuration ainsi que la notion d'espace s'acquièrent à partir de perceptions et des sens (visuel, auditif, tactile, proprioceptif ou encore vestibulaire).
Pour indiquer les coordonnées du vecteur on utilise la notation : Exemple : Sur le graphique ci-dessous, lire les coordonnées des vecteurs . Etant donnés deux point du plan A(xA ; yA) et B(xB ; yB) , le vecteur a pour coordonnées . Dans un plan muni d'un repère on a les points E(3 ;4) F(-2 ;1) et G(-4 ;2).
On rappelle que deux vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont colinéaires si et seulement s'il existe un réel k tel que \overrightarrow{u} = k\overrightarrow{v}.
1.2 Calcul de la distance AB
Soient A(xA ; yA) et B(xB ; yB) deux points du plan. La distance de A à B est : AB = √(xB − xA)2 + (yB − yA)2.
D'après un théorème du cours, si ax + by + c = 0 est une équation cartésienne d'une droite (d), alors le vecteur est un vecteur directeur de (d) ; à l'aide du vecteur directeur , placer un second point de la droite à partir du point A ; relier les deux points pour obtenir la droite souhaitée.
Lorsque deux points A et B sont confondus, on dit que le vecteur A B → \overrightarrow{AB} AB est un vecteur nul et on note 0 ce vecteur. Le vecteur nul a une longueur égale à 0, mais n'a ni direction, ni sens.
On peut déterminer ses nouvelles coordonnées en commençant par tracer deux segments parallèles aux axes des abscisses et des ordonnées passant par le point 𝐶. D'après la définition du repère 𝐴 ; 𝑂, 𝐵, la longueur du segment 𝑂𝐴 est d'une unité sur l'axe des abscisses. Les coordonnées du point 𝐴 sont donc un, zéro.
Un vecteur est un objet libre dans le plan.
Chacune des copies du vecteur s'appelle un représentant du vecteur . On peut construire autant de représentants d'un vecteur que l'on veut. Chacun des représentants du vecteur peut porter le même nom , mais être localisé en des points différents.
Coordonnées d'un vecteur
Avec deux vecteurs perpendiculaires de même origine et de même longueur, on peut former ce que l'on appelle un repère orthogonal. Si de plus, les vecteurs et sont de longueur 1 (ou de norme 1), on dit que le repère est orthonormé.
Pour permettre d'écrire selon n'importe quel angle ou en microgravité, l'entreprise développa une cartouche d'encre avec de l'azote à une pression de 2,5 atmosphères. La pression de la capsule pousse l'encre contre la bille en carbure de tungstène à la pointe du stylo, libérant l'encre comme un stylo ordinaire.
Mais en général, on dit que l'espace commence à environ 100 km d'altitude, car après cette limite, beaucoup de choses changent : la température, la pression, la résistance à l'air... Si on monte à plus de 100 km d'altitude, on peut dire que l'on est dans l'espace.
L'espace est l'étendue qui sépare les planètes, les étoiles, les astéroïdes, les galaxies, etc. Autrefois, avant le début du XXe siècle, les scientifiques pensaient que l'espace était rempli d'une matière appelée éther (Fluide subtil emplissant tout l'espace notion abandonnée) 1.
Deux vecteurs forment une base du plan vectoriel si, et seulement si, ils NE sont PAS colinéaires. Nous n'irons pas plus loin pour l'instant, mais nous retiendrons qu'il sera utile d'exprimer chaque vecteur d'un problème donné en fonction de deux vecteurs de base intelligemment choisis...
On peut vérifier que ces deux vecteurs sont linéairement indépendants, donc ils forment une base de F. Si z − 3y + 3x = 0, il n'y a pas de solution. Si z − 3y + 3x = 0, on obtient un syst`eme triangulaire, il y a donc une unique solution. Conclusion : (x, y, z) ∈ F ⇐⇒ z − 3y + 3x = 0.
En géométrie dans l'espace, la base est la face inférieure (supposée horizontale) d'un solide tels qu'un cône ou une pyramide ; les deux bases sont les deux faces opposées d'un solide tels qu'un cylindre ou un prisme.