Pour t'en souvenir retiens ceci : convEXe=bosse vers l'EXterieur. Concave=creux. La face endocranienne de l'os pariétal est bien un creux, il est donc concave en endo. Si sa face en endo est concave alors sa face exocrânienne est convexe c'est-à-dire qu'il y a une bosse vers l'extérieur.
Une fonction est dite concave sur un intervalle si, pour toute paire de points sur le graphe de , le segment de droite qui relie ces deux points passe en dessous de la courbe de . Une fonction convexe possède une dérivée première croissante ce qui lui donne l'allure de courber vers le haut.
👉 Une forme concave est incurvée vers l'intérieur, comme un creux. Cela signifie que la courbure est tournée vers l'intérieur de la structure. 👉 Une forme convexe est incurvée vers l'extérieur, comme une bosse. Cela signifie que la courbure est tournée vers l'extérieur de la structure.
On démontre qu'une fonction est concave sur un intervalle si et seulement si sa dérivée est décroissante sur cet intervalle, autrement dit si sa dérivée seconde est négative sur cet intervalle.
La fonction f est convexe sur I si sa dérivée f ' est croissante sur I, soit f ''(x) ≥ 0 pour tout x de I. La fonction f est concave sur I si sa dérivée f ' est décroissante sur I, soit f ''(x) ≤ 0 pour tout x de I.
Interprétation graphique : Exemple : La fonction x↦x3 x ↦ x 3 possède un point d'inflexion en 0. 0. Plus généralement, si A est une partie convexe d'un espace vectoriel normé E, une fonction f:A→R f : A → R est convexe lorsque, pour tous x et y de A , pour tout t de [0,1] : f(tx+(1−t)y)≤tf(x)+(1−t)f(y).
Pour tout x ∈ E et r ≥ 0, la boule centrée en x et de rayon r (ouverte ou fermée) est convexe : B(x, r) := {y ∈ E | x − y ≤ r}. (iii) Pour toute forme linéaire φ : E → R et b ∈ R, le sous-niveau {x ∈ E;φ(x) ≤ b} est un ensemble convexe appelé demi-espace.
Pour étudier la convexité d'une fonction, il suffit d'étudier les variations de sa dérivée. Exemple : Etudions la fonction $f(x) = x^2 -3x +2$ sur l'intervalle $I = \mathbb{R}$. $f$ est une fonction polynôme, elle est donc dérivable sur $\mathbb{R}$ et $\ f'(x) = 2x – 3$.
Une fonction f est convexe si, pour tout couple de points A et B de la courbe de f, la sécante (AB) est au-dessus de la courbe de f. Si, pour tout couple de points A et B de la courbe de f, la sécante (AB) est en dessous de la courbe de f, alors on dit que f est concave.
Un objet géométrique est dit convexe lorsque, chaque fois qu'on y prend deux points A et B, le segment [A, B] qui les joint y est entièrement contenu. Ainsi un cube plein, un disque ou une boule sont convexes, mais un objet creux ou bosselé ne l'est pas.
Adjectif. Qui présente une surface en creux. Surface, ligne courbe, polygone concave.
Un polygone est convexe si tout segment qui relie deux points intérieurs se trouve entièrement dans ce polygone. Dans un polygone concave, au moins un segment joignant deux de ses points se trouve, en tout ou en partie, à l'extérieur de sa surface.
Contraire : bombé, convexe, protubérant, renflé, ventru.
Les polygones convexes ont des angles internes de moins de 180 degrés et des sommets tournés vers l'extérieur. Les polygones non-convexes ont au moins un angle interne de plus de 180 degrés et des sommets tournés vers l'intérieur.
On calcule f''(x) : f'(x) = 3x2 – 12x + 9 et f''(x) = 6x – 12. On étudie ensuite le signe de f'' : 6x – 12 > 0 si et seulement si x > 2 . Ainsi on peut dire que : f est concave sur [–1 ; 2] car, pour x ∈ [–1 ; 2], f''(x) < 0.
Il reflète la lumière de façon divergente pour une visibilité améliorée. Les images formées par les miroirs convexes sont virtuelles, et donnent l'impression que les objets semblent plus petits qu'ils ne le sont en réalité, ce qui permet d'avoir un point de vue plus large.
Pour déterminer les abscisses des points d'inflexion de sa courbe, on cherche les points où la dérivée seconde s'annule en changeant de signe. Soit, par exemple, à déterminer les abscisses des points d'inflexion de la courbe représentative de la fonction définie par f ( x ) = 1 2 x 4 + x 3 − 6 x 2 .
Pour dresser le tableau de variations d'une fonction, il faut calculer la dérivée, étudier le signe de celle-ci, et compléter les valeurs aux extrémités de chacune des flèches placées, en faisant attention aux éventuelles valeurs interdites sur l'intervalle d'étude.
Lorsqu'on se promène sur la courbe en allant de la gauche vers la droite : Sur l'intervalle [0 ; 2,5], on monte, on dit que la fonction est croissante. Sur l'intervalle [2,5 ; 5], on descend, on dit que la fonction est décroissante.
Qui présente une courbe en bosse. Ligne courbe convexe. — Un cercle, une ellipse sont convexes.
La ligne convexe se courbe vers l'extérieur, et son milieu est plus épais que ses bords. Si une forme convexe est courbée vers l'extérieur, une forme concave est courbée vers l'intérieur.
Qui présente une courbure sphérique en relief ; qui est arrondi en dehors : Miroirs convexes.
Propriété 1 : si f est convexe sur I, alors f est continue sur I. Propriété 2 : si f est convexe sur I, alors f est dérivable `a droite et `a gauche sur I et ∀x0 ∈ I, fg (x0) ⩽ fd (x0).
La dérivée seconde indique la variation de la pente de la courbe représentative et permet de mesurer la concavité locale de la courbe. Si elle est positive sur un intervalle, la pente augmente, la courbure est vers le haut, la fonction est dite « convexe » sur cet intervalle.
Cette équation a notamment été étudiée par D'Alembert et Euler. Ils ont ainsi prouvé que la solution s'écrit y(x,t)=f(x+ct)+g(x−ct) y ( x , t ) = f ( x + c t ) + g ( x − c t ) , où f et g sont des fonctions arbitraires d'une variable réelle deux fois dérivables.