Un nombre complexe, c'est un point ou un vecteur (selon le point de vue) du plan euclidien, c'est-à-dire un élément de R2=R×R R 2 = R × R . La notion de signe est propre aux nombres réels. Pour les nombre complexes, il n'y en a pas.
Le module d'un nombre complexe z est noté |z|.
cos(π), on est bien de l'autre coté, π c'est cet angle ici, donc le cosinus vaut -1. sinus de π, sin(π) ça vaut 0, donc ça fait bien -1 ! Et donc on a montré que i^2 est égal à -1.
On appelle forme algébrique (ou cartésienne) d'un nombre complexe z = (x, y) l'expression z = x +jy. si x = 0, alors z = jy est un nombre imaginaire pur: z ∈I L'ensemble des nombres imaginaires purs se note I. , on a alors la figure 1 suivante. A tout nombre complexe z = x + jy, on associe le point M(x, y).
Le module d'un nombre complexe z=a+ib est : ∣z∣=a2+b2 . Un argument d'un nombre complexe non nul z est une mesure en radian de l'angle orienté θ tel que cos(θ)=∣z∣Re(z) et sin(θ)=∣z∣Im(z).
Tout nombre complexe non nul admet exactement deux racines carrées, qui sont opposées! On dispose de deux méthodes pour résoudre l'équation z2=w : Écrire w=a+ib, z=x+iy, et procéder par identification des coefficients.
I) Image d'un nombre complexe et affixe d'un point
Le point M de coordonnées (a ; b) dans le repère (O ; →u, →v) est appelé l'image du nombre complexe z dans le plan. Soit M un point de coordonnées (a ; b) dans le repère (O ; →u, →v). Le nombre complexe z=a+ib est appelé l'affixe du point M.
En effet, il est SUPER important que les nombres complexes soient non nuls car l'argument de zéro n'existe pas ! En voici la preuve : Comme la division par zéro est impossible, alors arg(0) n'existe donc pas !
Les nombres complexes ont été progressivement introduits au XVI e siècle par l'école mathématique italienne (Jérôme Cardan, Raphaël Bombelli, Tartaglia) afin d'exprimer les solutions des équations du troisième degré en toute généralité par les formules de Cardan, en utilisant notamment des « nombres » de carré négatif.
Bien plus qu'une simple aide de calcul, ils sont intrinsèques à la description de la mécanique quantique. L'histoire des nombres complexes commence au xvie siècle, alors que les mathématiciens italiens aimaient à se lancer des défis lors de joutes consistant à résoudre des problèmes proposés par leurs adversaires.
✅ La fonction carré associe à tout nombre réel x le nombre x² qui est à valeur dans l'intervalle c'est à dire que la fonction renvoie uniquement des nombres positifs. Cela implique également que : L'équation où a est un nombre négatif est impossible à résoudre. Il n'existe aucun nombre au carré qui est négatif.
A la rigueur, ce qui s'en rapprocherait est l'argument du nombre complexe, qui correspond à l'angle en radians avec la droite (O,→x) ( O , x → ) , et qu'on note généralement θ. Lorsque θ=0, il s'agit d'un nombre réel positif, lorsque θ=π, il s'agit d'un nombre réel négatif.
Exemple : Déterminons un argument de 1+i : 1+i=√2(1√2+1√2i)=√2(cos(π4)+isin(π4)).
Un nombre complexe est nul si et seulement si sa partie réelle et sa partie imaginaire sont nulles. ils ont même partie réelle et même partie imaginaire.
Tout élément z de s'écrit de manière unique : z = a + ib (a et b réels), donc si z = a + ib et z' = a' + ib', z = z' ⇔ a = a' et b = b'. a + ib (a et b réels) s'appelle la forme algébrique du nombre complexe z.
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Le nombre complexe associé à un point est appelé l'affixe de ce point. Une affixe est constituée d'une partie réelle et d'une partie imaginaire correspondant respectivement à l'abscisse et l'ordonnée du point.
Une équation de droite se présente sous la forme : y = ax + b avec a le coefficient directeur et b l'ordonnée à l'origine. Ici b = 0, car la droite coupe l'axe des ordonnées au point 0. Pour déterminer a, il suffit de se placer sur le point correspondant à l'ordonnée à l'origine (b).
a/ Pour résoudre l'inéquation f(x) < 0, on repère la portion de courbe au dessous de l'axe des abscisses (Ox) : les abscisses correspondantes donnent l'ensemble solution. Si l'inéquation à étudier est f(x) ≤ 0, on prend également les abscisses des points d'intersection. donnent l'ensemble solution.
z=±(√√a2+b2+a2+sgn(b)⋅i√√a2+b2−a2). On a donc là aussi, quelles que soient les valeurs de a et b (c'est-à-dire quelque soit c), exactement deux racines carrées opposées l'une de l'autre. Remarques : Il ne faut pas retenir la formule précédente donnant les deux racines carrées d'un nombre complexe !
Pour mettre sous forme trigonométrique un complexe z=a+ib z = a + i b , on met en facteur le module √a2+b2 a 2 + b 2 , puis on cherche un angle θ tel que ⎧⎨⎩cosθ=a√a2+b2sinθ=b√a2+b2. θ = a a 2 + b 2 sin
Une astuce assez courante consiste à multiplier numérateur et dénominateur par a − i b : 1 z = ( a − i b ) ( a + i b ) ( a − i b ) . Or ( a + i b ) ( a − i b ) = a 2 − i 2 b 2 = a 2 + b 2 ce qui donne le résultat.
Forme exponentielle des nombres complexes
C'est pour cette raison que l'on introduit la notation suivante : eiθ=cosθ+isinθ. Il ne faut pas ici s'effrayer face à l'exponentielle : il ne s'agit que d'une notation. Historiquement, cette dernière égalité est en fait plutôt connue comme la formule d'Euler.