D'un point de vue pratique : 3 points de l'espace définissent un plan si et seulement si ces 3 points ne sont pas alignés. Pour prouver que les points A, B et C ne sont pas alignés, il suffit de montrer, par exemple, que les vecteurs et ne sont pas colinéaires.
On en déduit que les points A, B et C définissent un plan si et seulement si les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} ne sont pas colinéaires. Ainsi, les points A, B et C définissent un plan si et seulement si les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} ne sont pas colinéaires.
Un point M appartient au plan P si et seulement si il existe des réels k et k' tels que . On dira alors que les vecteurs et sont des vecteurs directeurs du plan. La donnée de deux vecteurs non colinéaires d'un plan permet aussi de définir ce que l'on appelle la direction du plan.
Inégalité triangulaire : Soient A, B et C trois point du plan. Points aligné : Si AC + CB = AB alors C appartient au segment [AB] donc les points sont alignés. dans le triangle : Soit [AB] est le plus long côté. Si AC + CB sup AB alors le triangle existe Si BC + AC inf AB alors le triangle n'existe pas.
On rappelle qu'un vecteur \overrightarrow{n} est normal à un plan si et seulement s'il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan. Le vecteur \overrightarrow{n} est normal au plan \left(ABC\right) si et seulement s'il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan.
Indice : En géométrie vectorielle, pour montrer que 4 points sont coplanaires, il faut montrer que trois des vecteurs qu'ils forment sont coplanaires. Pour ça, il faut exprimer un des trois vecteurs en fonction des deux autres.
Pour déterminer une équation cartésienne d'un plan passant par A et de vecteur normal \vec{n}, on peut : donner la forme générale de l'équation : ax + by + cz + d = 0 ; remplacer les coefficients a, b, c par les coordonnées du vecteur \vec{n} ; déterminer ensuite la valeur de d à l'aide des coordonnées du point A.
Solution détaillée. Les trois points A 1 , A 2 , A 3 sont alignés si et seulement si les vecteurs A 1 A 2 → et A 1 A 3 → sont colinéaires, donc si et seulement si le déterminant des vecteurs A 1 A 2 → , A 1 A 3 → , est nul.
Points alignés
On dit que trois points ou plus sont alignés s'ils sont sur une même droite. A, B et C sont alignés car A, B et C sont sur la même droite (d).
J'utilise la Réciproque du Théorème de Pythagore( lorsqu'on connaît les longueur des 3 côtés). Si un côté d'un triangle est un diamètre du cercle circonscrit, alors le triangle est rectangle. Si dans un triangle, la médiane issue d'un sommet mesure la moitié du côté opposé à ce sommet, alors le triangle est rectangle.
Un point M appartient au plan (ABC) si et seulement si le vecteur \overrightarrow{\textrm{AM}} est égal à une combinaison linéaire des vecteurs \overrightarrow{\textrm{AB}} et \overrightarrow{\textrm{AC}}.
Bonjour, Il faut calculer tous les angles entre le point B et l'ensemble des points A. Si la somme des angles est proche de 0, le point est situé dans le polygone.
Conclure. On place l'abscisse du point A dans l'équation de la droite, et on conclut : Si l'on obtient bien l'ordonnée de A, alors A appartient à la droite. Si l'on obtient un nombre différent de l'ordonnée de A, alors A n'appartient pas à la droite.
Pour savoir si →u, →v et →w sont coplanaires:
Pour celà, on cherche 2 nombres a et b tels que →w=a→u+b→v. Si on peut trouver a et b alors →u, →v et →w sont coplanaires. Sinon →u, →v et →w ne sont pas coplanaires. Les points A, B, C, D sont-ils coplanaires?
Si AC + CB = AB alors C appartient au segment [AB] donc les points sont alignés. dans le triangle. Propriété : Si un point M appartient à la médiatrice de [AB] alors AM = BM. Si AM = BM alors M appartient à la médiatrice de [AB].
Étymologiquement, colinéaire signifie sur une même ligne : en géométrie classique, deux vecteurs sont colinéaires si on peut en trouver deux représentants situés sur une même droite. sont parallèles. Cette équivalence explique l'importance que prend la colinéarité en géométrie affine.
-Deux points distincts A et B déterminent une unique droite (AB). -Trois points (distincts) non alignés déterminent un unique plan ou une droite et un point qui n'appartient pas à cette droite déterminent un unique plan.
Exemples : F, D, B et H sont coplanaires ; (EF) et (DC) sont coplanaires. Deux plans sont dits parallèles lorsqu'ils ne sont pas sécants : ainsi, soit ils sont confondus, soit ils n'ont pas de point d'intersection.
En géométrie analytique, trois points du plan A, B, C sont alignés si et seulement si la matrice suivante n'est pas inversible : . Plus généralement, étant donnés n points de Rp repérés par des vecteurs de coordonnées (xi,1, … , xi,p), les points sont alignés si et seulement si la matrice suivante est de rang 2 : .
Des points sont alignés s'ils appartiennent à la même droite. Par deux points distincts ne passe qu'une et une seule droite.
Les symptômes d'un problème d'alignement
Voici les principaux: Lorsque vous circulez sur une ligne droite, votre volant reste tourné ou vous avez l'impression que votre voiture tire à droite ou à gauche. Après avoir pris un virage, le volant de votre voiture revient difficilement en position centrale.
à partir d'une équation cartésienne du plan. Si le plan a pour équation cartésienne ax+by+cz=d, alors un vecteur normal du plan est le vecteur de coordonnées (a,b,c).
Ce système équivaut à : Si a = 8 alors b = -2 et c = 13. Un vecteur normal au plan (ABC) est le vecteur donc l'équation cherchée est de la forme : 8x -y +13z + d = 0.
deux plans sécants peuvent être orthogonaux. Ces plans n'étant pas parallèles, ils sont sécants. On peut donc également les qualifier de plans perpendiculaires. Deux plans sont perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux.
« Lorsque deux plans sont parallèles, tout plan coupant l'un coupe l'autre et les droites d'intersection sont parallèles ». « Trois points coplanaires sont toujours alignés ». « Trois points alignés sont toujours coplanaires ». « Quatre points non alignés forment toujours un plan ».