Si les coordonnées sont proportionnelles, alors les vecteurs sont colinéaires. Si les coordonnées ne sont pas proportionnelles, alors les vecteurs ne sont pas colinéaires.
Étymologiquement, colinéaire signifie sur une même ligne : en géométrie classique, deux vecteurs sont colinéaires si on peut en trouver deux représentants situés sur une même droite. sont parallèles. Cette équivalence explique l'importance que prend la colinéarité en géométrie affine.
Astuce : deux vecteurs sont dits colinéaires s'ils se trouvent sur la même ligne, sinon ils doivent être parallèles. Ainsi, si deux vecteurs ne sont pas colinéaires , ils doivent alors être antiparallèles, ce qui est la propriété du vecteur que nous avons utilisé dans ce problème.
Trois points de vecteurs de position a, b et c sont colinéaires si et seulement si les vecteurs (a−b) et (a−c) sont parallèles. En d'autres termes, pour prouver la colinéarité, nous aurions besoin de montrer (a−b)=k(a−c) pour une constante k .
Propriétés : Les points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs ⃗ AB et ⃗ AC sont colinéaires. Les droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs ⃗ AB et ⃗ CD sont colinéaires.
Solution détaillée. Les trois points A 1 , A 2 , A 3 sont alignés si et seulement si les vecteurs A 1 A 2 → et A 1 A 3 → sont colinéaires, donc si et seulement si le déterminant des vecteurs A 1 A 2 → , A 1 A 3 → , est nul.
Si les vecteurs sont multiples les uns des autres, ils sont parallèles ; Si deux vecteurs parallèles commencent au même point, ce point et les deux points finaux sont sur une ligne droite.
Les vecteurs situés le long de la même ligne ou de lignes parallèles sont appelés vecteurs colinéaires . Ils sont également appelés vecteurs parallèles. Deux vecteurs sont colinéaires s’ils sont parallèles à la même ligne quelles que soient leurs amplitudes et leur direction.
les vecteurs ont la même direction ou bien l'un des deux vecteurs est le vecteur nul 0 ; les vecteurs u et v sont colinéaires si et seulement si il existe un nombre réel k tel que u → = k v → \overrightarrow{u}=k\overrightarrow{v} u =kv .
Produit scalaire et vecteurs colinéaires
Si ⃗ AB et ⃗ CD sont deux vecteurs colinéaires non nuls, alors : 1er cas, vecteurs de même sens : ⃗ ⋅ C D ⃗ = A B × C D \vec {AB}\cdot \vec {CD}=AB\times CD AB ⋅CD =AB×CD.
Deux vecteurs →u et →v de l'espace sont orthogonaux si et seulement si →u. →v=0. . Deux droites D et Δ de vecteurs directeurs respectifs →u et →v sont dites orthogonales lorsque →u et →v le sont.
Ces positions relatives sont par ailleurs caractéristiques des droites coplanaires : pour prouver que deux droites sont coplanaires il suffit de prouver qu'elles sont sécantes ou parallèles, et pour prouver que deux droites ne sont pas coplanaires, il suffit de montrer qu'elles ne sont ni sécantes ni parallèles.
Pour déterminer si trois points sont alignés, il existe plusieurs méthodes. Les points A, B et C sont alignés ⇔ (AB) et (AC) ont le même cœfficient directeur . A(3 ; 7), B(0 ; –2) et C(1 ; 1) sont-ils alignés ? Les deux cœfficients directeurs sont égaux à 3, donc A, B et C sont alignés.
Deux vecteurs sont colinéaires s’ils se trouvent tous deux sur une même ligne ou des lignes parallèles et s’ils peuvent être orientés dans la même direction ou dans une direction opposée. Deux vecteurs sont colinéaires s’ils se trouvent dans un même plan, mais ils ne peuvent pas être parallèles entre eux .
Les types de vecteurs sont : Vecteurs zéro . Vecteurs unitaires . Vecteurs de position .
Les vecteurs coinitiaux sont définis comme des vecteurs qui ont le même point de départ les uns que les autres. Les vecteurs colinéaires sont définis comme deux vecteurs ou plus parallèles à la même ligne donnée et parallèles entre eux.
Propriété : Deux vecteurs colinéaires non nuls ont la même direction. Conséquences géométriques : Dire que les vecteurs et sont colinéaires signifie que les points A, B, C sont alignés. Dire que les vecteurs non nuls et sont colinéaires signifie que les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
Les preuves vectorielles impliquent l'utilisation de toutes les connaissances vectorielles acquises, de l'addition vectorielle aux produits scalaires et aux projections, pour prouver divers résultats algébriques et géométriques . Pour maîtriser les preuves vectorielles, il faudra beaucoup de pratique et une absorption approfondie des connaissances.
Colinéaire fait référence à des points disposés en ligne droite . La colinéarité peut être représentée à l'aide de vecteurs ou de dégradés. En utilisant des dégradés, nous montrons que les vecteurs sont parallèles et partagent un point. Les vecteurs sont parallèles si l’un est multiple de l’autre. Les points peuvent être colinéaires mais il n'y a pas de vecteurs colinéaires.
Points alignés
On dit que trois points ou plus sont alignés s'ils sont sur une même droite. A, B et C sont alignés car A, B et C sont sur la même droite (d).
« Lorsque deux plans sont parallèles, tout plan coupant l'un coupe l'autre et les droites d'intersection sont parallèles ». « Trois points coplanaires sont toujours alignés ». « Trois points alignés sont toujours coplanaires ». « Quatre points non alignés forment toujours un plan ».
Indice : En géométrie vectorielle, pour montrer que 4 points sont coplanaires, il faut montrer que trois des vecteurs qu'ils forment sont coplanaires. Pour ça, il faut exprimer un des trois vecteurs en fonction des deux autres.
Supposons que X, Y et Z soient les trois points avec lesquels nous pouvons former trois ensembles de paires, tels que XY, YZ et XZ soient trois paires de points. Ensuite, selon la formule de pente, si Pente de XY = Pente de YZ = Pente de XZ , alors les points X, Y et Z sont colinéaires.
Dans un plan donné, trois points ou plus situés sur la même ligne droite sont appelés points colinéaires. Deux points sont toujours en ligne droite.
Pour calculer la distance entre deux points dont nous connaissons les coordonnées, nous utilisons la formule de distance. Ainsi, si nous avons trois points colinéaires dans l’ordre A, B et C, alors ces points seront colinéaires si AB + BC = CA .