Un point M appartient au plan P si et seulement si il existe des réels k et k' tels que . On dira alors que les vecteurs et sont des vecteurs directeurs du plan. La donnée de deux vecteurs non colinéaires d'un plan permet aussi de définir ce que l'on appelle la direction du plan.
On rappelle que trois points A, B et C définissent un plan si et seulement s'ils ne sont pas alignés. Les trois points A, B et C définissent un plan si et seulement s'ils ne sont pas alignés.
On rappelle qu'un point M\left(x;y\right) appartient à une droite si et seulement si ses coordonnées vérifient une équation de la droite. Les points A et B appartiennent à la droite si et seulement si leurs coordonnées vérifient l'équation 4x-y+3 = 0.
Si les plans ont 2 points d'intersection, la droite passant par ces 2 points appartient aux 2 plans. Si les plans ont 3 points d'intersection non alignés: ils sont confondus. Pour montrer que 2 plans P1 et P2 sont parallèles: Il suffit de montrer que 2 droites secantes de P1 sont parallèles à 2 droites de P2 .
Propriété Un vecteur n est normal à un plan P s'il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de P. Méthode à utiliser Pour montrer que le vecteur й est normal au plan (ABC), on vérifiera que й est orthogonal à AB et AC (on peut aussi raisonner avec AB et BC ou bien encore avec AC et BC).
Définition 3 : base
Deux vecteurs forment une base du plan vectoriel si, et seulement si, ils NE sont PAS colinéaires.
Définition : On appelle vecteur directeur de d tout vecteur non nul qui possède la même direction que la droite d. Propriété : Soit un point de l'espace et {⃗ un vecteur non nul de l'espace.
L'ensemble des points M(x,y) tels que ax + by + c = 0 avec (a,b) ≠ (0,0) est une droite vecteur directeur . Cette propriété permet de : caractériser en tant que droite l'ensemble des points M(x,y) vérifiant une égalité du type ax + by + c = 0 avec (a,b) ≠ (0,0) ; déterminer un vecteur directeur de cette droite.
Un point A appartient à une droite D dont on connaît une représentation paramétrique si et seulement s'il existe un unique réel t tel que les coordonnées de A vérifient le système. Déterminer si le point A\left(4;1;7\right) appartient à la droite D.
Pour montrer qu'un point appartient à une droite lorsque l'on connaît l'équation cartésienne de la droite et les coordonnées du point, il faut simplement remplacer x par l'abscisse du point et y par l'ordonnée du point et vérifier que l'égalité est vérifiée.
Propriété :Si un point est équidistant des extrémités d'un segment alors il appartient à la médiatrice de ce segment. Propriété : Si un point est le milieu d'un segment alors ce point appartient à ce segment et est équidistant des extrémités du segment.
Étymologiquement, colinéaire signifie sur une même ligne : en géométrie classique, deux vecteurs sont colinéaires si on peut en trouver deux représentants situés sur une même droite. sont parallèles. Cette équivalence explique l'importance que prend la colinéarité en géométrie affine.
Solution détaillée. Les trois points A 1 , A 2 , A 3 sont alignés si et seulement si les vecteurs A 1 A 2 → et A 1 A 3 → sont colinéaires, donc si et seulement si le déterminant des vecteurs A 1 A 2 → , A 1 A 3 → , est nul.
3) Deux droites peuvent avoir exactement trois points communs. 4) Deux droites non perpendiculaires sont sécantes. ou parallèles le sont réellement.
Les droites (d) et (d') sont sécantes si et seulement si et ne sont pas colinéaires, c'est-à-dire si et seulement si le déterminant de et de n'est pas nul.
Définitions. On appelle base de l'ensemble des vecteurs tout couple de vecteurs non-colinéaires. On appelle repère du plan tout triplé où O est un point du plan et est une base.
On rappelle que deux droites sont parallèles si elles ont le même vecteur directeur. Comme les deux droites sont parallèles, elles ont le même vecteur directeur. On peut donc utiliser le vecteur directeur de la droite donnée pour ⃑ 𝑑 dans l'équation vectorielle de la droite recherchée.
Une équation cartésienne de droite est une équation de la forme ax+by+c=0. Remarque : Il existe une infinité d'équations cartésiennes d'une même droite. Propriété : Si une droite a pour équation cartésienne ax+by+c=0 alors un vecteur directeur de cette droite a pour coordonnées (−b;a).
On peut calculer le coefficient directeur grâce à la formule a = y B - y A x B - x A . Ici, cela donne ... a = 8 - 5 2 - 1 - = 3 1 = 3 . On peut ensuite calculer l'ordonnée à l'origine grâce à la formule b = y B - a × x B = y A - a × x A .
Deux plans sont perpendiculaires si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux. Il est utile de remarquer que si deux plans sont confondus, alors leurs vecteurs normaux (non nuls) sont colinéaires ; l'équation de l'un des plans et alors un multiple de l'autre.
Cette propriété permet de caractériser en tant que droite l'ensemble des points M(x,y) vérifiant une égalité du type ax + by + c = 0 avec (a,b) ≠ (0,0) et, de plus, permet de déterminer un vecteur directeur de cette droite.
La norme d'un vecteur correspond à sa longueur, c'est-à-dire à la distance qui sépare les deux points qui définissent le vecteur.
Pour que deux vecteurs soient orthogonaux, leur produit scalaire doit être nul. Afin de trouver la solution, il suffit de trouver lequel de ces vecteurs ne donne pas un produit scalaire nul lorsqu'il est multiplié avec ( 2 ; − 3 ; 5 ) .
Un vecteur u → = A B → est représenté par une flèche. Le point initial s'appelle l'origine du vecteur. Le point final s'appelle l'extrémité du vecteur. Le nom du vecteur est noté (ou non) au dessus de la flèche qui représente le vecteur.