Du point de vue du tracé, tangente et courbe vont localement se confondre au voisinage de 2. Cas particulier : Si le nombre dérivé est nul, la tangente, dont le coefficient directeur est alors nul, est horizontale.
(a) La courbe Cf admet des tangentes horizontales lorsque sa dérivée s'annule, c'est à dire en −2 et en 1 3 (b) L'équation de la tangente en 1 est T : y = f(1)(x − 1) + f(1).
Si l'on cherche une tangente parallèle à une droite. Lorsque f est dérivable sur un intervalle I contenant le réel a, la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse a admet pour équation : y= f'\left(a\right) \left(x-a\right) + f\left(a\right) .
Preuve : La tangente (T) au point A a pour équation y = mx + p et a pour coefficient directeur f '(a). En remplaçant, (T) : y = f '(a)x + p. Le point A(a, f(a)) appartient à cette tangente donc ses coordonnées vérifient l'équation de (T) soit , ce qui donne .
Si la pente de la courbe en 𝑥 est nulle, alors la droite normale en ce point est verticale et a pour équation 𝑥 = 𝑥 . Si la pente de la courbe n'est pas définie en un point, il y a deux possibilités. Soit la tangente à la courbe en ce point est verticale ; dans ce cas, la droite normale est horizontale.
Là où la dérivée est nulle, la tangente est horizontale puisqu'elle n'a pas de coefficient directeur. Il s'agit souvent d'un extremum. Il arrive qu'une tangente TRAVERSE une courbe au voisinage d'un point nommé point d'inflexion (par exemple la fonction cube, au point d'origine).
À ces points de rebroussement, la tangente à la courbe représentative est verticale. Lorsque la tangente est verticale, sa pente est infinie, ce qui implique que la limite l i m → 𝑓 ( 𝑥 + ℎ ) − 𝑓 ( 𝑥 ) ℎ est divergente. Par conséquent, la dérivée de cette fonction n'est pas définie aux points 𝑥 = − 1 et 𝑥 = 1 .
La tangente à la courbe au point A d'abscisse est la droite passant par A dont le coefficient directeur s'appelle le nombre dérivé de la fonction en et se note '( ).
Calcule le point d'intersection (ici c'est pour x = 0). Ensuite, calcule la pente des tangentes en ce point (c'est la dérivée). Tu vas trouver que l'une vaut l'opposé de l'autre. Elles sont donc perpendiculaires.
Pour t'aider,la tangente doit e passer par l'origine (0;0) du repère dont les coordonnées vérifient l'équation de cette droite. Tu trouveras alors des valeurs pour a qui correspondent aux abscisses des points de la tangente à la courbe. Il te restera alors les ordonnées respectives à déterminer.
Si le nombre dérivé est nul, la tangente, dont le coefficient directeur est alors nul, est horizontale. Comme pour toute recherche d'équation de droite, il faut maintenant utiliser un point de la droite afin de trouver b. Le seul point connu est le point de tangence A, d'abscisse 2.
La position relative entre deux courbes étudie les intervalles sur lesquelles une des courbes est supérieure à l'autre. Pour étudier la position relative entre C f C_{f} Cf et T T T, il faut étudier le signe de f ( x ) − y f\left(x\right)-y f(x)−y.
Asymptote horizontale
Lorsque x tend vers , tend 0 donc . La droite d'équation y=3 est donc une asymptote horizontale à la courbe représentative de f en . Lorsque x tend vers , tend vers 0 donc .
Remarque : lorsque la tangente est horizontale, le coefficient directeur est nul. Pour calculer le coefficient directeur f'(a) : Étape 1 : On commence par calculer la dérivée de la fonction f. Étape 2 : On calcule f'(a) en remplaçant x par a.
f d ′ ( x 0 ) = f g ′ ( x 0 ) . Si f est dérivable à droite (resp. à gauche) en x0 , on dit que la courbe représentative de f admet une demi-tangente (à droite ou à gauche) au point (x0,f(x0)).
Quand deux droites se coupent en formant un angle droit, elles sont perpendiculaires.
Deux droites sont perpendiculaires si et seulement si le produit de leurs pentes est égal à -1. Autrement dit, si m1 et m2 sont les pentes de deux droites, alors elles sont perpendiculaires si m1 * m2 = -1.
On peut calculer le coefficient directeur grâce à la formule a = y B - y A x B - x A . Ici, cela donne ... a = 8 - 5 2 - 1 - = 3 1 = 3 . On peut ensuite calculer l'ordonnée à l'origine grâce à la formule b = y B - a × x B = y A - a × x A .
Rappelons qu'une tangente à un cercle est une droite passant par exactement un point du cercle. La droite ne passe pas à l'intérieur du cercle, elle touche simplement le cercle, comme illustré sur le schéma ci-dessous.
"Pour étudier la position relative de la courbe C_{f} et de la droite D d'équation y=ax+b, on étudie le signe de f\left( x \right)-\left( ax+b \right)." Pour étudier la position relative de C_f et de D, on étudie le signe de f\left(x\right)-\left( x-1 \right) pour tout réel x différent de -1.
Fonctions circulaires
Les fonctions trigonométriques dites circulaires sont les fonctions cosinus et sinus usuelles ainsi que la fonction tangente qui est, rappelons le, définie par tan(t) = sin(t)/cos(t) pour tout t ∈ R tel que cos(t) = 0.
La fonction valeur absolue n'est pas dérivable en 0.
Conclusion: Si f est une fonction dérivable sur un intervalle contenant un réel a, la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse a a pour équation: y = f(a) + f′(a)(x - a) .
Si la limite trouvée est un réel a, on en déduit que la droite d'équation y=a est asymptote horizontale à C_{f} en +\infty. Si la limite trouvée est +\infty ou -\infty, alors C_{f} n'admet pas d'asymptote horizontale en +\infty.
S'il y a un degré de plus au numérateur qu'au dénominateur, alors il y aura une asymptote oblique. S'il le degré du numérateur est plus petit ou égal à celui du dénominateur, alors il y a un asymptote horizontale.