f est majorée sur I , s'il existe un réel M tel que pour tout x de I , f ( x ) ≤ M . On dit que M est un majorant de f . f est minorée sur I , s' il existe un réel m tel que pour tout x de I , f ( x ) ≥ m .
Proposition Si M est un majorant de f et N un majorant de g, alors M + N est un majorant de f + g. Si M est un majorant de f et N un majorant de g, avec f et g positives, alors MN est un majorant de fg. . Si M est un majorant de f , alors −M est un minorant de −f .
Fonctions majorées
On dit qu'une fonction numérique (f,D) est 'majorée sur D' sur l'ensemble f(D) est majoré, autrement dit s'il existe un réel M tel que f(x)≤M ∀x∈D. Illustration: Il résulte de cette définition que: Si f est majorée sur D, alors l'ensemble f(D) possède une borne supérieure.
Une suite (un) est majorée s'il existe un nombre M tel que, pour tout entier naturel n, u n ≤ M u_n \leq M un≤M. M est appelé le majorant de (un).
Donc toute valeur strictement supérieure ou égal à 1 est un majorant. Mais seul 1 est un maximum car c'est un majorant atteint par la fonction sinus.
La relation x ≥ y se dit x est supérieur ou égal `a y. Si x ≤ y, on dit que x minore y ou que y majore x. Soit E un sous-ensemble de R, on dit a est un majorant de E si a majore tous les éléments de E.
Démonstration. D'apr`es le cours, un ensemble qui admet un plus petit élément admet également une borne inférieure et, dans ce cas, la borne inférieure est égale au plus petit élément. Comme B admet 1 pour plus petit élément, B admet également une borne inférieure et celle-ci est aussi 1. B n'est pas majoré.
On doit avoir w0>=0 (sinon W1=racine(W0) ne serait pas défini). De même Wn>=0 pour tout n.
1. Augmenter de tant le prix, la valeur ou le montant de quelque chose : Majorer de 10 % les salaires. 2. Estimer quelque chose au-dessus de sa valeur véritable : Facture majorée de 10 %.
Soit une fonction f définie sur un domaine D et I un intervalle de D et a un réel de I. f (a) est le minimum de f sur I si et seulement si pour tout x ∈ I on a f(x) ≥ f(a), f (a) est le maximum de f sur I si et seulement si pour tout x ∈ I on a f(x) ≤ f(a).
Diminuer l'importance de quelque chose, lui accorder une valeur moindre.
On dit qu'un réel m est un minorant de A si M est inférieur ou égale à tous les élément de A. Un ensemble qui admet un minorant est dit minoré.
Propriété : Une suite croissante non majorée diverge vers + ∞. Une suite décroissante non minorée diverge vers - ∞. Démonstration : Soit une suite (un) non majorée et croissante, et A un réel arbitraire. Comme la suite est non majorée, il existe au moins un terme up de la suite tel que up > A.
Une suite est dite divergente si elle n'est pas convergente. Il existe deux sortes de suites divergentes : celles qui tendent vers l'infini et celles qui n'ont pas de limite.
Définition : La suite (un) admet le réel pour limite si : Tout intervalle ]a ; b[ contenant , contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. On dit alors que la suite est convergente.
"toute partie non vide de N admet un plus petit élément". Soit A une partie non vide de N. Supposons pas l'absurde que A ne possède pas de plus petit élément. Pourtant par ce qu'elle est non vide elle possède au moins un élément noté a0.
Si l'ensemble des majorants d'une partie A de R admet un plus petit élément M on dit que M est la borne supérieure de A et on note M = sup(A). Cette borne est alors unique. Si l'ensemble des minorants d'une partie A de R admet un plus grand élément m, on dit que m est la borne inférieure de A et on note m = inf(A).
On appelle maximum absolu la plus grande des valeurs d'une fonction et minimum absolu la plus petite de ces valeurs.
Ces statistiques portent sur les retraités du Régime général (ancien travailleur salarié et/ou ancien travailleur indépendant). Si le retraité n'a pas les conditions pour obtenir le taux plein, la retraite est calculée avec un taux minoré ou décote.
1. Action de minorer, évaluation de quelque chose au-dessous de sa valeur. 2. Diminution du prix d'un bien ou d'un service.
Une partie d'un ensemble ordonné est bornée si elle admet à la fois un majorant et un minorant dans l'ensemble ordonné. En dehors du cas où la partie elle-même contient un majorant et un minorant, cette définition dépend donc a priori du reste de l'ensemble ordonné.
Une fonction f définie dans un sous-ensemble E de nombres réels admet un minimum m en un point a de E si m = f(a) et si, quel que soit x de E, f(x) est supérieur ou égal à f(a). On dit alors que m est le minimum de l'ensemble des images de f.
La valeur minimum d'une fonction se trouve lorsque la dérivée s'annule et change de signe passant de négatif à positif. Exemple : f(x)=x2 f ( x ) = x 2 définie sur R , sa dérivée est f′(x)=2x f ′ ( x ) = 2 x , elle s'annule en x=0 car f′(x)=0⟺2x=0⟺x=0 f ′ ( x ) = 0 ⟺ 2 x = 0 ⟺ x = 0 .