Une matrice nilpotente est une
On dit qu'une matrice carrée A est nilpotente s'il existe un entier naturel p tel que la matrice Ap soit nulle. L'indice de nilpotence est alors le plus petit p. et 0 l'endomorphisme nul. La plus petite valeur de p vérifiant cela est appelée indice (de nilpotence).
Autrement dit, \(f\) est nilpotent si et seulement s'il existe un polynôme annulateur de la forme \(X^i\), avec \(i\) un entier supérieur ou égal à \(n\), tout en sachant que le polynôme dit minimal (le polynôme annulateur avec le plus petit degré possible) de \(f\) est \(X^n\), \(n\) étant l'indice de nilpotence de l' ...
On dit que u est nilpotent s'il existe un entier n≥1 n ≥ 1 tel que un=0 u n = 0 . Le plus petit entier n qui convient est appelé indice de nilpotence de u . L'indice de nilpotence de u est aussi son indice en tant qu'endomorphisme de E, c'est-à-dire le plus petit entier n tel que ker(u)=ker(un+1).
Un élément x d'un magma (M, •) est dit idempotent si : x • x = x. Si tous les éléments de M sont idempotents pour •, alors • est dite idempotente.
H⊕Vect(In)=ℳn(𝕂). Soit A une matrice nilpotente. On peut l'écrire A=B+λIn avec B∈H. La matrice B n'étant pas inversible, il existe une colonne X non nulle telle que BX=0 et alors AX=λX.
Une matrice irréductible est une matrice qui n'est pas conjuguée par permutation à une matrice triangulaire par blocs avec au moins deux blocs diagonaux.
Caractérisations en dimension finie
Un endomorphisme d'un espace de dimension n est nilpotent si et seulement si son polynôme caractéristique est égal à Xn. En effet, le polynôme caractéristique est unitaire, de degré n et a les mêmes facteurs premiers que le polynôme minimal.
Une matrice carrée à coefficients dans K ( K = R ou K = C ) est diagonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé sur K et, pour chaque valeur propre, la dimension du sous-espace propre associé est égale à son ordre de multiplicité en tant que racine du polynôme caractéristique.
Pour trouver la puissance n-ième d'une matrice diagonale, il suffit d'élever à la puissance n les coefficients de la diagonale, tous les autres coefficients restant nuls.
Plus généralement, les endomorphismes et matrices d'ordre fini sont diagonalisables sur le corps des complexes. Au contraire, un endomorphisme nilpotent non nul ne peut pas être diagonalisable. Les matrices réelles symétriques sont diagonalisables par une matrice orthogonale.
Une matrice A (n × n) est symétrique si AT = A, c'est-à-dire si aji = aij ∀i, j = 1,2,...,n. Donc une matrice symétrique a ses coefficients symétriques par rapport à la diagonale. Exemple 14.2.
Exemples des endomorphismes non-diagonalisables. Soit f un endomor- phisme nilpotent: il existe k > 0 tel que fk = 0. Si f(v) = λv, alors fk(v) = λkv = 0, donc λ = 0. Par conséquent, un endomorphisme nilpotent non-nul n'est pas diagonalisable. .
Définition : Puissance d'une matrice
Si 𝐴 est une matrice carrée et 𝑘 est un entier positif, la 𝑘 e puissance de 𝐴 est donnée par 𝐴 = 𝐴 × 𝐴 × ⋯ × 𝐴 , où il y a 𝑘 copies de matrice 𝐴 .
Si A est diagonalisable, (D, N)=(A, 0) est la décomposition de Dunford de A . En effet, D = A est diagonalisable, N = 0 est nilpotente, DN = ND = 0 et A = A +0= D + N. Si A est nilpotente, (D, N) = (0,A) est la décomposition de Dunford de A .
Deux matrices sont semblables si et seulement si elles représentent le même endomorphisme d'un espace vectoriel dans deux bases (éventuellement) différentes.
Question d'origine : Est ce qu'on peut dire que la matrice nulle est une matrice diagonale ? Oui (si elle est carrée).
La diagonalisation de matrices sert surtout en physique (via le théorème spectral) pour déterminer certaines caractèristiques invariantes de systèmes. (Comme en mathématique on détermine les vecteurs invariants à un facteur près sous une une application linéaire, appelés vecteurs propres).
La matrice A est diagonalisable sur R si le polynôme PA admet deux racines distinctes dans R. En effet, si PA admet une racine double r et A diagonalisable, alors l'endomorphisme de matrice A est égal à rIdE, ce qui n'est pas le cas.
Un endomorphisme u de E est diagonalisable s'il existe une base de E formée de vecteurs propres de u . Une matrice est diagonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale.
Si F = E, f est appelée un endomorphisme. Pour montrer que f est une application linéaire, il suffit de vérifier que f(u + λv) = f(u) + λf(v) pour tous u, v ∈ E,λ ∈ K.
On dit que est diagonalisable s'il existe une base de telle que la matrice de par rapport à cette base soit diagonale.
Méthode n°2 : Une matrice A est inversible si et seulement si la famille formée par ses vecteurs colonnes est libre. Autrement dit, si vous remarquez une combinaison linéaire entre les vecteurs colonnes de la matrice A, alors cette famille est liée, donc elle n'est pas libre, donc A n'est pas inversible.
Autrement dit : Une fraction est irréductible si a et b sont premiers entre eux. Propriété : Si on divise le numérateur et le dénominateur d'une fraction par le PGCD(a ; b), alors la fraction obtenue est irréductible. On effectue la division euclidienne de 10608 par 391.
On dit d'une telle matrice qu'elle est non inversible. Par exemple, A=[1000] A = [ 1 0 0 0 ] est non inversible puisque BA=[a0c0] B A = [ a 0 c 0 ] pour chaque B=[abcd], B = [ a b c d ] , d'où BA≠[1001] B A ≠ [ 1 0 0 1 ] peu importe les valeurs de a,b,c a , b , c et d .