Une suite (vn)est dite géométrique lorsqu'il existe un nombre réel non nul q tel que, pour tout entier naturel n, vn+1=q×vn. Le nombre réel q est appelé la raison de la suite (vn). Exemple (v_n) est la suite géométrique de raison \dfrac{1}{2} et de premier terme v_0 =1.
Une suite (un) est une suite géométrique s'il existe un nombre q tel que un+1=q×un u n + 1 = q × u n pour tout entier naturel n. n . On appelle alors q la raison de la suite. Expression du terme général : pour n≥0, n ≥ 0 , un=qnu0.
Dire qu'une suite de termes non nuls est géométrique signifie que le quotient de deux termes consécutifs quelconques est constant, quel que soit n. Le terme général d'une suite géométrique (un) peut s'exprimer directement en fonction de n avec un = u0qn ou un = upqn–p quel que soit p, entier naturel.
La formule à utiliser ici est : u n = u 0 × r n , où est le premier terme de la suite géométrique et sa raison.
Une suite géométrique est une suite telle que chaque terme se déduit du précédent par la multiplication par un réel constant (également appelé la raison de la suite). Pour montrer qu'une suite (Vn) est géométrique, on montre qu'il existe un réel q constant tel que, pour tout entier n, V_{n + 1} = q \times V_n.
Une suite est une succession de nombres réels (appelés termes de la suite), comme par exemple 2,5,8,... Le mode de génération d'une suite est la façon dont cette suite est définie. Dans notre exemple, 2,5,8, chaque terme est obtenu en "ajoutant 3" au terme précédent.
Pour déterminer la raison d'une suite géométrique donnée, on divise n'importe quel terme de la suite par le terme précédent. Par exemple, on peut diviser le troisième terme par le deuxième terme ou le deuxième terme par le premier terme ; dans les deux cas, on trouve le même nombre si la suite est géométrique.
La somme des n premiers termes d'une suite géométrique de raison q et de premier terme a est donnée par la formule : a(1-qⁿ)/(1-q). Dans cette vidéo, on donne une justification assez simple de cette formule.
Propriété : Si (un)n∈N est une suite arithmétique de raison r et de premier terme u0, alors l'expression de un en fonction de n est donnée par : ∀n ∈ N,un = u0 + nr.
Trouver la raison d'une suite géométrique
On a donc un = aqn−1. Pour trouver la raison d'une suite géométrique, si l'on connaît le premier et le dernier de n termes consécutifs, il faut extraire la racine (n−1)ième du quotient du dernier terme par le premier.
Une suite géométrique U de raison q et de premier terme U0 a pour terme général Un = U0 qn. On utilise les suites géométriques pour les placements à intérêts composés. Une suite arithmétique U de raison r et de premier terme U0 a pour terme général Un = U0 + nr.
▶ Si un+1 un ⩾ 1, alors la suite (un) est croissante. ▶ Si un+1 un ⩽ 1, alors la suite (un) est décroissante. c) Si la suite (un) est définie explicitement : un = f (n), alors il suffit d'étudier les variations de la fonction f sur l'intervalle 0;+∞ .
Conclure que la suite vn est géométrique
Lorsque l'on montre que pour tout entier n, vn+1 = vn × q, la raison q doit être un réel qui ne dépend pas de n. Pour tout entier n, on a vn+1 = 3vn. Donc vn est une suite géométrique de raison q = 3 et de premier terme : v0 = 2u0 - 1 = 2 × 2 - 1 = 3.
En mathématiques, une suite arithmético-géométrique est une suite satisfaisant une relation de récurrence affine, généralisant ainsi les définitions des suites arithmétiques et géométriques.
— Si x = ax + b cx + d admet une unique solution α, alors la suite auxiliaire définie par Vn = 1 Un − α est arithmétique de raison 2c a + d . — Si x = ax + b cx + d admet deux solutions α et β, alors la suite auxiliaire définie par Vn = Un − β Un − α est géométrique de raison cα + d cβ + d .
Exemple : Considérons une suite numérique (un) où le rapport entre un terme et son précédent reste constant et égale à 2. Si le premier terme est égal à 5, les premiers termes successifs sont : u0 = 5, u1 = 10, u2 = 20, u3 = 40. Une telle suite est appelée une suite géométrique de raison 2 et de premier terme 5.
En règle générale, on utilise la première version si 𝑅 < 1 et la seconde si 𝑅 > 1 . Si 𝑅 = 1 , tous les termes de la suite géométrique sont identiques, donc il suffit de multiplier le premier terme par le nombre de termes pour trouver la somme : 𝑆 = 𝑇 × 𝑁 .
∑ [terme général d'une suite arithmétique] = [nombre de termes] × [premier terme] + [dernier terme] 2 .
Les suites arithmétiques et géométriques. On étudie deux types de suites particulières : les suites arithmétiques (on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre) et les suites géométriques (on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre).
Il encadre le cercle par des polygones inscrits et circonscrits possédant un nombre de côtés de plus en plus grand. Par ce procédé, Archimède donne naissance, sans le savoir, à la notion de suite numérique.
Pour conjecturer la limite d'une suite, il suffit de calculer quelques valeurs de la suite, avec une calculatrice par exemple, et de voir si un motif ressort. Les trois premiers termes de la suite définie par u n = sin pour n ≥ 1 sont 0,841 , 0,457 , 0,047 .
Si q = 1 la suite est constante, chaque terme vaut u0. Si q = 0 la suite est constante au-delà de u0, tous les termes sont nuls. Si q < 0 la suite est alternée, un terme positif, le suivant négatif.
Solution. Calculons u 1 u 0 et u 2 u 1 : ² ² u 1 u 0 = 1 ² + 1 / 0 ² + 1 = 2 et ² ² u 2 u 1 = 2 ² + 1 1 ² + 1 = 5 2 . Ces deux nombres sont différents donc la suite ( u n ) n'est pas géométrique.
On considère une suite géométrique $(u_n)$ dont on connaît la raison $q$ et le premier terme $u_0$. Alors, pour tout entier naturel $n$, $u_n=u_0\times q^n$. Cette dernière égalité est une réponse aux questions : "Exprimer $u_n$ en fonction de $n$."
Pour déterminer la raison, nous pouvons calculer la différence entre deux termes consécutifs. Par exemple, la différence entre les deux premiers termes est : 1 9 − 1 2 = 7 . Ceci nous indique que la raison de cette suite arithmétique est égale à 7.