L'équation cartésienne d'un plan est du type ax + by + cz + d = 0 avec (a ;b ;c) les coordonnées d'un vecteur normal du plan . On procède en deux étapes : D'abord déterminer un vecteur normal au plan Ensuite déterminer d . une valeur pour cette variable et on en déduit les deux autres .
L'équation cartésienne d'un plan dans ℝ est 𝑎 𝑥 + 𝑏 𝑦 + 𝑐 𝑧 + 𝑑 = 0 , où 𝑎 , 𝑏 et 𝑐 sont les composantes du vecteur normal ⃑ 𝑛 = ( 𝑎 , 𝑏 , 𝑐 ) qui est orthogonal au plan ou à tout vecteur directeur du plan.
On peut déterminer une équation cartésienne d'un plan en s'appuyant sur la propriété énoncée ci-dessous : Soient a, b, c trois réels non tous nuls, l'ensemble des points M de l'espace de coordonnées (x, y, z) tels que ax + by + cz + d = 0 est un plan de vecteur normal \vec{n} de coordonnées (a, b, c).
coordonnées d'un point
Dans un repère du plan, on a besoin de deux nombres pour indiquer la position d'un point : ce sont ses coordonnées. La première coordonnée, l' abscisse, se lit sur l'axe horizontal (l'axe des abscisses) ; la seconde, l' ordonnée, se lit sur l'axe vertical (l'axe des ordonnées).
Tout plan P de l'espace admet une équation de la forme ax +by +cz = d avec (a; b ; c) = (0; 0; 0) • Si (a; b ; c) = (0; 0; 0) alors l'ensemble des points M de coordonnées (x ; y ; z) vérifiant ax +by +cz = d est un plan. Définition 8.2.
I) Projeté orthogonal d'un point sur une droite de l'espace
Si la droite Δ admet pour vecteur directeur le vecteur →u, alors : →AH⋅→u=0. Si le projeté orthogonal du point A sur la droite Δ est le point H, alors la distance du point A à la droite Δ est : d(A ; Δ)=AH.
Volume=πR2h Volume = π R 2 h Aire latérale=2πrh. Aire latérale = 2 π r h .
Un bon moyen de trouver les coordonnées d'un point dans l'espace est de chercher le point directement en dessous, sur le plan 𝑥𝑦. Dans notre cas, c'est le point 𝐵. Les coordonnées 𝑥 et 𝑦 de 𝐴 dans l'espace sont simplement les coordonnées 𝑥 et 𝑦 de 𝐵 dans le plan 2D.
Les coordonnées géographiques d'un point seront donc interpolées localement entre des parallèles et des méridiens en faisant ce que l'on appelle couramment "une règle de trois". Longitude = 0.10 - (0.10 x d1/d2). Latitude = 54.30 - (0.10 x l1/l2).
Deux droites graduées qui se coupent perpendiculairement en leur origine forment un repère du plan. Dans le plan, chaque point est repéré par deux nombres relatifs appelés coordonnées du point : son abscisse et son ordonnée, qui sont toujours citées dans cet ordre.
Trois points A, B et C définissent un plan si et seulement s'ils ne sont pas alignés. Soient les points A\left(1;-2;0\right), B\left(3;4;0\right) et C\left(3;1;5\right). Déterminer si les points A, B et C définissent un plan.
Un plan (vectoriel ou affine) est un espace vectoriel (ou affine) de dimension 2.
Intersection d'une droite et d'un plan
Il est clair que l'intersection est obtenue en résolvant un système de 3 équations à 3 inconnues. Soit la droite D donnée par { u x + v y + w z = d u ′ x + v ′ y + w ′ z = d ′ et le plan P donné par { x = a + λ u 1 + μ u 2 y = b + λ v 1 + μ v 2 z = c + λ w 1 + μ w 2 .
Par convention les coordonnées géographiques s'écrivent ainsi : 45° 45′ 35″ nord, 4° 50′ 32″ est. Dans cet exemple, il faut lire « quarante-cinq degrés, quarante-cinq minutes, et trente-cinq secondes de latitude nord, et quatre degrés, cinquante minutes et trente-deux secondes de longitude est. »
On connaît l'équation de la droite
Soit ( O , ı → , ȷ → ) un repère du plan et une droite d'équation a x + b y = c , où , et sont des nombres réels donnés. Alors les vecteurs u → ( − b a ) et u ′ → ( b − a ) et tout vecteur qui leur est colinéaire, sont des vecteurs directeurs de la droite .
Définition : On appelle vecteur directeur de d tout vecteur non nul qui possède la même direction que la droite d. Propriété : Soit un point de l'espace et {⃗ un vecteur non nul de l'espace.
Coordonnées géographiques
Position d'un point à la surface de la Terre, définie par une longitude et une latitude.
Déterminer les coordonnées du carré UTM. Un carré UTM fait 1 km de côté. Il faut prendre l'habitude de commencer par la valeur horizontale (abscisse ou x ou longitude) et ensuite la valeur verticale (ordonnée ou y ou latitude). Dans nos massifs la seconde donnée (y) correspond à la distance en km jusqu'à l'équateur.
s = (b.x - a.x) * (c.y - a.y) - (c.x - a.x) * (b.y - a.y). Pour un ensemble de points, il suffit d'iterer sur les sommets i, i+1, i+2 et de diviser par deux.
Les données sont définies dans des systèmes de coordonnées horizontales et verticales. Les systèmes de coordonnées horizontales localisent les données sur la surface de la Terre, et les systèmes de coordonnées verticales les localisent par rapport à la hauteur ou la profondeur des données.
Un repère de l'espace est constitué de 3 axes : celui des abscisses, celui des ordonnées et celui des cotes. Les coordonnées d'un point de l'espace sont constituées de 3 nombres : l'abscisse, l'ordonnée et la cote de ce point, lisibles sur les axes du même nom.
Une équation de droite se présente sous la forme : y = ax + b avec a le coefficient directeur et b l'ordonnée à l'origine. Ici b = 0, car la droite coupe l'axe des ordonnées au point 0. Pour déterminer a, il suffit de se placer sur le point correspondant à l'ordonnée à l'origine (b).
Nous savons que nous pouvons trouver la distance entre deux points dans un espace tridimensionnel en utilisant la formule suivante. La distance est égale à la racine carrée de 𝑥 deux moins 𝑥 un au carré plus 𝑦 deux moins 𝑦 un au carré plus 𝑧 deux moins 𝑧 un au carré.
Un repère de l'espace est constitué d'un point de l'espace et d'une base de l'espace. Si à une base de l'espace on associe un point O, alors on obtient un repère . Le point O est l'origine du repère.
Le continuum espace-temps comporte quatre dimensions : trois dimensions pour l'espace, « x », « y », et « z », et une pour le temps, « t ».