Diviseurs et divisibilité dans l'ensemble des polynômes Soient les polynômes , et . Si P = Q × R , alors et sont des diviseurs de . Par exemple, 2 x ( x + 3 ) = 2 x 2 + 6 x . Donc et sont des diviseurs de 2 x 2 + 6 x .
Un nombre B est un diviseur du nombre A si lorsqu'on divise A par B, on obtient un nombre entier sans qu'il n'y ait de reste. Si A est un multiple de B, alors B est un diviseur de A. 48 est un multiple de 6 car on peut trouver 48 en multipliant 6 par un nombre entier : 6 × 8 = 48.
Si A et B sont deux polynômes, il existe un polynôme Q et un polynôme R tels que A(x)/B(x) = Q(x)+R(x)/B(x) avec deg(R(x)) < deg(B(x)). Par exemple, (x²-3x+5)/(x-1) = x-2+3/(x-1).
À l'aide des nombres complexes
De plus, Pn(¯j)=¯Pn(j)=0. et donc que Pn(x) est divisible par (x−j)(x−¯j)=Q(x) pour tout réel x.
On détermine le PGCD des polynômes A et B par le théorème moteur de l'algorithme d'Euclide, utilisant les divisions euclidiennes des polynômes. On fait la division de A par B : On a obtenu A ( X ) = X 2 − X − 2 ) B ( X ) + X 2 + 4 X − 5 .
Recherche du PGCD de deux nombres entiers :
Méthode: on fait la liste de tous les diviseurs de chaque nombre, puis parmi ceux qui sont communs aux deux nombres, on prend le plus grand. - Les diviseurs de 60 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 10 ; 12 ; 15 ; 20 ; 30 ; 60.
561÷357 (à la calculatrice touche ÷R) on obtient 1 en quotient et 204 en reste. Après, on continue : On divise le plus petit des deux nombres de la division précédente par le reste de cette division. --> Le dernier reste non nul est 51 donc PGCD (357 ; 561) = 51.
Un nombre entier est divisible par 2 si son chiffre des unités est 0 ; 2 ; 4 ; 6 ou 8.
➡️ Par exemple, pour un polynôme du second degré P(x) = ax² + bx + c, les racines peuvent être trouvées en résolvant l'équation quadratique ax² + bx + c = 0 à l'aide de la formule quadratique. Autrement dit, un réel a est un racine de P si P(a) = 0. On dit aussi que a est solution de l'équation P(x) = 0.
Si a est racine de P , pour déterminer son ordre de multiplicité, on peut calculer les polynômes dérivés successifs P ( k ) jusqu'à obtenir P ( k )( a ) ≠ 0. Le plus petit entier k qui satisfait cette inégalité est l'ordre de multiplicité de la racine a .
Pour décomposer un polynôme P∈R[X] P ∈ R [ X ] en produits d'irréductibles de R[X] , peut commencer par le décomposer en produits d'irréductibles de C[X] , puis regrouper les facteurs correspondants à deux racines non réelles conjuguées (voir cet exercice).
La méthode consiste donc à multiplier le premier coefficient par x0 et à lui ajouter le deuxième coefficient. On multiplie alors le nombre obtenu par x0 et on lui ajoute le troisième coefficient, etc.
Division d'un polynôme par (x−a) : Règle de Horner
Dans la première colonne de la deuxième ligne, on met le nombre a du polynôme diviseur lorsqu'il est mis sous la forme (x−a) (ici a=−3 puisque le polynôme diviseur est x+3=x−(−3)).
Que faut-il faire pour trouver tous les diviseurs de n dans N∗ ? On utilise la propriété suivante : dans N, si d divise n, alors d ⩽ n. On examine tous les nombres entiers d. Pour chacun d'entre eux, on se pose les questions suivantes : Est-ce que d ⩽ n ? (sinon, ce n'est pas un diviseur de n) Est-ce que d divise n ?
Les diviseurs de 126 sont : 1, 2, 3, 6, 7, 9, 14, 18, 21, 42, 63, 126.
Les diviseurs de 72 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 9 ; 12 ; 18 ; 24 ; 36 ; 72. ...
Les racines d'une fonction polynôme de degré 3 du type x → a(x – x1)(x – x2)(x – x3) sont x1, x2 et x3. La fonction f : x → 2(x – 2)(x + 1)(x + 2) admet 3 racines : –2 ; –1 et 2. En effet, f(–2) = f(–1) = f(2) = 0.
3.1 Factorisation d'un polynôme
Déterminer les réels a, b et c tels que, pour tout x de R, on ait : f (x) = (x −1)(ax2 +bx +c). Réponse : pour tout x de R : On identifie les coefficients des termes de même degré. a b c = = = 1 −1 2 Conclusion : pour tout x de R, f (x) = (x −1)(x2 −x +2).
Propriétés Exemples Un nombre entier est divisible par 2 : → Quand son chiffre des unités est 0,2, 4, 6 ou 8 et uniquement dans ce cas. 4 689 n'est pas divisible par 2 → 4 689 est un nombre impair.
Par exemple, 2 divise 28 donc 14 divise également 28, car 2 × 14 = 28. c) ● 2 divise 456, car 456 est pair. 3 divise 456 car 4 + 5 + 6 = 15 est divisible par 3. 5 ne divise pas 456 car 456 ne se termine pas par 0 ou 5.
- Un nombre est divisible par 4, si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est lui-même divisible par 4. - Un nombre est divisible par 3, si la somme de ses chiffres est divisible par 3. - Un nombre est divisible par 9, si la somme de ses chiffres est divisible par 9.
Rappel sur le PGCD
On a vu en classe de 3ème que le PGCD de deux nombres a et b est le plus grand nombre qui divise à la fois a et b. Par exemple, le PGCD de 15 et 10 est 5. Pour déterminer le PGCD de deux nombres, on peut faire une liste des diviseurs de a puis de b et déterminer le plus grand diviseur commun.
Les diviseurs communs de 12 et 18 sont 1, 2, 3, et 6. Le PGCD (12 ; 18) est 6. Méthode 2 : Algorithme des soustractions. Propriété du PGCD : On prend deux nombres entiers strictement positifs a et b.
L'algorithme d'Euclide fonctionne en utilisant le fait que si « d » divise à la fois « a » et « b », alors « d » divise aussi leur différence (« a » – « b »). Cela signifie que si « d » est le PGCD de « a » et « b », alors « d » est également le PGCD de « b » et (« a » – « b »).