Il est possible de tracer la réciproque d'une fonction en interchangeant les coordonnées x et y de certains points. Par exemple, dans la figure ci-dessous, on peut observer la fonction f(x)=25(x+1)+2 f ( x ) = 2 5 ( x + 1 ) + 2 et sa réciproque : f−1(x)=25(x−2)−1.
On va déterminer la réciproque par intervalles. Remarquons d'abord que f f définit une bijection de ]−∞;1[ ] − ∞ ; 1 [ dans ]−∞;1[ ] − ∞ ; 1 [ par la formule f(x)=x f ( x ) = x . La bijection réciproque est donnée par f−1(y)=y f − 1 ( y ) = y .
Ainsi, la fonction réciproque de f est définie par f−1(x)=3√x−2+1. Remplacer x par y pour trouver la fonction réciproque est également la méthode utilisée pour obtenir le graphique de f−1 à partir du graphique de f. Soit un point (a,b) appartenant à la fonction f, alors par définition f(a)=b si et seulement f−1(b)=a.
La notation de la réciproque de est . Par définition, f ( a ) = b ⟺ f − 1 ( b ) = a .
La réciproque d'une fonction f s'obtient en intervertissant les valeurs de x et de y puis en isolant y. y .
On dit qu'un polynôme P est réciproque lorsque P = Q. Auquel cas, pour x ≠ 0, P(x) = 0 ⇔ P(1/x) = 0.
Une application f : E → F admet une application réciproque si et seulement si elle est bijective. Si f : E → F est bijective, alors f−1 : F → E est bijective. En effet, l'application réciproque associée `a f−1 est f : (f−1)−1 = f.
Réciproque du théorème de Thalès : Si, d'une part les points A,D,C et d'autre part les points A,E,B sont alignés dans le même ordre et si les deux premiers rapports de Thalès sont égaux ( A D A C = A E A B ) alors les droites (DE) et (BC) sont parallèles.
La réciproque du théorème Pythagore dit que « si un triangle est rectangle, alors le carré de la plus grande longueur (l'hypoténuse) est égale à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés ». La réciproque de Pythagore permet donc de montrer si un triangle est rectangle.
Si la fonction valeur absolue est ouverte vers le bas (lorsque a est négatif), l'ouverture de sa réciproque est vers la droite. Dans ce cas, ima(f)=]−∞,k]=dom(f−1).
Théorème de la bijection (TB) :
Si f est continue et strictement monotone, f(I) est un intervalle et )I(f I:f → est une fonction bijective. α= )x(f0 . Traduction : α= ∈ ∃ )x(f/I x!
Une application T : X → Y est dite inversible si, pour tout y ∈ Y , l'équation T(x) = y admet une unique solution x ∈ X. (y) = (l'unique x ∈ Xtel que T(x) = y). (y) = x est équivalent `a T(x) = y. = T.
Théorème de Thalès (appliqué au triangle)
D'après le théorème de Thalès, si les droites (BC) et (MN) sont parallèles, alors on a l'égalité : \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} =\frac{MN}{BC}.
Théorème fondamental de l'algèbre. Théorème d'apprentissage. Théorème d'Archimède. Théorème fondamental de l'arithmétique.
Ainsi, AB/AC = AE/AD, donc d'après le théorème de Thalès, (BE) et (CD) sont parallèles. En fait, si les points sont au milieu des segments, les fractions que l'on va calculer seront toujours égales à 1/2 (ou 2 si on prend la fraction inverse), et ce quelle que soit les longueurs de chaque côté.
On calcule la valeur du coefficient directeur directeur m à partir des coordonnées des points A et B : . On lit sur le graphique la valeur de l'ordonnée à l'origine p (c'est l'intersection entre la droite et l'axe des ordonnées). On trouve p = –2. L'équation de la droite (d2) est donc : y = x – 2.
On donne la courbe représentative d'une fonction trigonométrique. Il faut déterminer si son équation est de la forme y = asin(bx) + c ou de la forme y = acos(bx) + c et retrouver les valeurs de a, b et c.
Il n'est pas toujours possible de déterminer la règle associée à une table de valeurs. On peut le faire lorsque la table de valeurs présente une situation qui se traduit graphiquement par une série de points alignés ou une droite. La règle est alors de la forme (variable) = (coefficient) × (variable) + (constante).
D'après le théorème des fonctions réciproques, la fonction est dérivable en tout point image d'un tel que. Mais on a : f ′ ( x ) = 0 ⇔ x = 0 , donc est dérivable en tout point autre que. Donc est dérivable sur. Représentation graphique de et de dans un repère orthonormé.
Le théorème de la bijection peut alors s'énoncer ainsi : Théorème — Soit une fonction continue et strictement monotone, d'un intervalle I dans ℝ, induisant donc une bijection f de I sur une partie J de ℝ, de bijection réciproque f−1 : J → I (strictement monotone de même sens que f).
Méthode: On vérifie l'égalité des deux ensembles par correspondance des éléments qui les constituent. ⇔x∈∁E(f-1(F)). On peut alors conclure f-1(∁BF)=∁E(f-1(F)). Soit f:E→F une application.
La réciproque du théorème de Thalès sert à montrer que deux droites sont parallèles.
2. Qui est la réplique inverse de quelque chose : Proposition réciproque. 3. Se dit d'un verbe pronominal qui exprime l'action exercée par deux ou plusieurs sujets les uns sur les autres (par exemple Pierre et Paul se battent).
Si vous parvenez à factoriser A par B de la manière suivante : AB = I, alors A est inversible et sa matrice inverse est B.