0 est un diviseur de zéro. Les diviseurs de zéro sont les éléments non réguliers.
Dans l'ensemble des entiers naturels
On remarque alors que 1 divise tout entier naturel et que 0 est divisible par tout entier naturel.
il n'y aucune contradiction à dire que 0 est diviseur de 0...
L'entier 0 est un multiple de tout nombre entier n, car 0 = 0 × n.
Si n est égal à 1, n ne possède qu'un seul diviseur : 1. Tout entier n strictement supérieur à 1 possède au moins deux diviseurs 1 et n qui sont appelés ses diviseurs triviaux.
0 : en effet, 0 est divisible par n'importe quel nombre entier, il est donc aussi un multiple de 10 puisque 0 × 10 = 0. 10 : en effet, 10 est bien un multiple de lui-même, puisque 10 est divisible par 10 (on a 10 / 10 = 1, donc le reste de cette division est bien nul)
Selon cette définition, les nombres 0 et 1 ne sont donc ni premiers ni composés : 1 n'est pas premier car il n'a qu'un seul diviseur entier positif et 0 non plus car il est divisible par tous les entiers positifs.
Les diviseurs d'un nombre
Un diviseur d'un nombre est un nombre entier qui divise ce nombre sans qu'il n'y ait de reste. En d'autres mots, un nombre entier est un diviseur d'un autre nombre si le quotient est un nombre entier.
On dit qu'un nombre b est un diviseur d'un nombre a si le reste de la division euclidienne de a par b est nul.
Le nombre 0 est considéré comme un multiple de tout nombre entier n, car : 0 = 0 × n, mais 0 n'est un diviseur d'aucun nombre entier.
Pour n'importe quel nombre x, son inverse est donc x' tel que x x x' = 1. Or, zéro n'a pas d'inverse puisque n'importe quel chiffre multiplié par zéro donne toujours zéro. Par conséquent, la division par zéro est impossible et aboutirait à des contresens mathématiques.
La division par zéro donne l'infini. Cette convention a d'ailleurs été défendue par Louis Couturat dans son livre De l'infini mathématique. Cette convention est assez cohérente avec les règles de la droite réelle achevée, dans laquelle n'importe quel nombre, divisé par l'infini, donne 0.
A noter que l'inverse de 0 n'existe pas car il est impossible de diviser par 0 en mathématiques. En effet, la division par 0 ne représente rien car on ne peut pas diviser une partie par quelque chose qui n'existe pas.
Propriétés Exemples Un nombre entier est divisible par 2 : → Quand son chiffre des unités est 0,2, 4, 6 ou 8 et uniquement dans ce cas.
Par exemple 1/2, 12,45 et 0,415464 sont des nombres décimaux. Par contre, le nombre 1/3 = 0,3333333... n'est pas décimal, puisque qu'il a une infinité de 3 après la virgule.
Zéro est un nombre pair. Déterminer la parité d'un nombre entier relatif c'est dire s'il est pair ou impair. La façon la plus simple de prouver que zéro est pair c'est de vérifier qu'il correspond à la définition : en effet, c'est un entier multiple de 2.
L'expression un "multiple nul" fait référence au nombre 0. Un multiple non nul est donc un multiple autre que le nombre 0.
Divisible par 2 Tous les nombres terminés par 0, 2, 4, 6 ou 8 sont divisibles par 2. Tous les nombres dont le dernier chiffre est divisible par 2, est divisible par 2. Divisible par 3 Si la somme des chiffres est divisible par 3, le nombre est divisible par 3.
0 : en effet, 0 est divisible par n'importe quel nombre entier, il est donc aussi un multiple de 16 puisque 0 × 16 = 0. 16 : en effet, 16 est bien un multiple de lui-même, puisque 16 est divisible par 16 (on a 16 / 16 = 1, donc le reste de cette division est bien nul) 32 : en effet, 32 = 16 × 2.
Dans le cas du nombre 1, les deux diviseurs 1 et lui-même ne sont pas distincts : ce sont les mêmes.
Les nombres parfaits sont des entiers égaux à la somme de leurs diviseurs. Ainsi, 6 se divise par 2, 3 et 1. En additionnant 2, 3 et 1, on arrive à 6 ! Même chose pour 28, somme de 1 + 2 + 4 + 7 + 14.
Même si le nombre 0 possède une infinité de diviseurs, il n'est pas considéré comme un nombre composé puisqu'il ne possède aucune factorisation première.
Par convention, le premier nombre carré est égal à 1, bien que 0 soit un carré parfait (0×0=0).
-4,-3,-2,-1), zéro est considéré comme un nombre entier. Le zéro est unique, car c'est le seul nombre entier qui n'est ni positif ni négatif. C'est également le seul nombre entier qui n'est ni premier ni composé. C'est un nombre pair, car il est divisible par deux et n'a pas de reste.