On obtient alors √2=pq où p et q sont des nombres entiers relatifs qui sont premiers entre eux. De l'égalité √2=pq, on déduit (en élevant au carré) que 2=p2q2 et donc que p2=2q2. Ainsi, p2 est pair et d'après la propriété du prérequis n°4, on en déduit que p est un nombre pair.
Où l'on démontre que racine de 2 ne peut pas être le quotient de deux entiers et que c'est donc un nombre irrationnel.
La réponse est non : Théorème. – La racine carrée de 2 n'est pas un nombre rationnel.
L'ensemble ℚ a été défini par Peano, il vient de l'italien quotiente (la fraction). Il définit l'ensemble des nombres rationnels (exemples : -3 -2,5 0 1,25 1/3 2,666). Le nombre peut être décimal limité (3/4 = 0,75) ou périodique (2/3 = 0,666...). ℤ est inclus dans ℚ.
C'est un nombre irrationnel, dont une valeur approchée à 10–9 près est : √2 ≈ 1,414 213 562.
Écrivons √2 sous la forme d'une fraction irréductible (on peut imaginer que l'on simplifie ab si nécessaire). On obtient alors √2=pq où p et q sont des nombres entiers relatifs qui sont premiers entre eux. De l'égalité √2=pq, on déduit (en élevant au carré) que 2=p2q2 et donc que p2=2q2.
Par exemple, il est possible de construire un segment de longueur √2 : Soit A de coordonnées (a,0) et K de coordonées (−1,0) . On commence par déterminer, à la règle et au compas, L le milieu de [AK] , qui a donc pour coordonnées ((a−1)/2,0) ( ( a − 1 ) / 2 , 0 ) .
Une valeur approchée (à seulement 12 chiffres après la virgule) en est 1,414213562373.
Le nombre π est irrationnel, ce qui signifie qu'on ne peut pas écrire π = p/q où p et q seraient des nombres entiers.
L'ensemble des nombres décimaux est noté ⅅ. entier non nul. L'ensemble des nombres rationnels est noté ℚ.
Puisque b2 est pair, b est pair. Par conséquent, il est possible de simplifier la fraction par 2, ce qui contredit l'hypothèse que a, b sont premiers entre eux. Puisque l'hypothèse « √2 est rationnel » conduit à une contradiction, c'est le contraire qui est vrai, à savoir « √2 est irrationnel ».
Un nombre est rationnel s'il peut s'écrire sous la forme d'un quotient de deux entiers. L'ensemble des nombres rationnels se note Q. Inversement, un nombre est irrationnel lorsqu'il n'est pas rationnel, c'est à dire qu'il ne peut s'écrire sous forme de fraction.
Preuve de l'irrationalité Supposons que √5 est rationnel et écrivons-le sous la forme d'une fraction irréductible m/n (c'est-à-dire que m et n sont premiers entre eux : PGCD(m, n) = 1). L'hypothèse √5 = m/n conduit à 5n2 = m2. Ainsi, 5 divise m2, donc divise m d'après le lemme d'Euclide.
n'appartient pas à Q.
Le symbole ∈ indique qu'un élément appartient à un ensemble. À l'inverse, le symbole ∉ identifie un élément qui n'appartient pas à un ensemble. L'ensemble est dit un sous-ensemble de si et seulement si tous les éléments de sont aussi des éléments de . On dit alors que l'ensemble est inclus dans l'ensemble .
On utilise parfois l'appellation nombres entiers naturels pour désigner cet ensemble. Les nombres naturels représentent tous les nombres entiers positifs, incluant le 0. 0. Les nombres entiers sont les nombres qui n'ont pas de partie décimale ou dont la partie décimale est nulle.
L'ensemble des nombres entiers, représenté par le symbole Z, regroupe tous les nombres naturels (entiers positifs) et leurs opposés (entiers négatifs). Z={…,−3,−2,−1,0,1,2,3,…} Z = { … , − 3 , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , … }
0 est un nombre réel, donc il appartient à R.
L'ensemble des nombres rationnels, représenté par le symbole Q, regroupe tous les nombres qui correspondent à un quotient de 2 nombres entiers. Autrement dit, on peut les écrire sous la forme suivante. Les nombres rationnels incluent l'ensemble des nombres entiers, et donc l'ensemble des nombres naturels.
√ 2 est irrationnel. provoqua un énorme scandale. Il fut tel que la légende rapporte qu' HIPPASE DE METAPONTE, disciple de PYTHAGORE, accusé d'avoir révélé cette découverte au monde (vers 530 avant notre ère), périt noyé, jeté à la mer par ses condisciples.
Pour trouver √2, il faut que la somme des aires des carrés des côtés de l'angle droit soit égale à 2. On remarque que 2 est égal à 1²+ 1². Donc il suffit de construire un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent 1 et 1. La longueur de l'hypoténuse sera donc égale à √2.
Pi est un nombre irrationnel (c'est à dire qu'il s'écrit avec un nombre infini de décimales sans suite logique). Les premières sont : 3,14159265358979323846264338327950288419716939937510582. Dans la pratique, on utilise 3,14 mais il est souvent aisé de retenir 22 septièmes ou racine de 10 pour valeur approchée de Pi.
Il s'est servi de cette observation pour construire un triangle rectangle tridimensionnel dont les deux côtés égaux se rejoignent à angle droit avant de déduire sa célèbre équation : « le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés de la catheti » ou simplement « a² + b² = c² », comme on le dit aujourd'hui.
Théorème de Pythagore — Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
Le procédé de construction est itératif, on commence par réaliser un triangle isocèle rectangle dont les côtés de l'angle droit ont pour mesure 1. Puis, à partir de l'hypoténuse de ce premier triangle, on construit un nouveau triangle rectangle, dont un des côtés de l'angle droit mesure 1, et ainsi de suite...