Il faut donc s'assurer au préalable que la matrice est diagonalisable. La dernière propriété énoncée nous montre que deux matrices semblables ont les mêmes valeurs propres. Or, on sait qu'une matrice diagonalisable est, par définition, semblable à une matrice diagonale.
Deux matrices peuvent avoir les mêmes valeurs propres et le même nombre de vecteurs propres, mais si leurs blocs Jordan sont de tailles différentes, ces matrices ne peuvent pas être similaires. Dans une matrice de Jordan, les valeurs propres sont sur la diagonale et il peut y en avoir au-dessus de la diagonale ; le reste des entrées est nul.
Deux matrices sont semblables si et seulement si elles représentent le même endomorphisme d'un espace vectoriel dans deux bases (éventuellement) différentes.
Puisque les matrices similaires A et B ont le même polynôme caractéristique, elles ont également les mêmes valeurs propres. Si B = PAP−1 et v = 0 est un vecteur propre de A (disons Av = λv) alors B(Pv) = PAP−1(Pv) = PA(P−1P)v = PAv = λPv . Ainsi Pv (qui est non nul puisque P est inversible) est un vecteur propre pour B de valeur propre λ.
La valeur singulière de la matrice est trouvée par la valeur du déterminant de cette matrice et la valeur peut également être nulle. La valeur n'est donc pas forcément la même pour deux matrices similaires .
Des matrices similaires représentent la même application linéaire sous deux bases (éventuellement) différentes , P étant la matrice de changement de base.
Deux matrices carrées sont dites similaires si elles représentent le même opérateur linéaire sous des bases différentes. Deux matrices similaires ont le même rang , la même trace, le même déterminant et les mêmes valeurs propres.
Oui . La façon de formuler la question est de se demander si des matrices similaires ont le même polynôme caractéristique. La question est donc de savoir si det(A−xI) det ( A − x I ) et det(PAP−1−xI) det ( PAP − 1 − x I ) sont le même polynôme. L'astuce consiste à observer (presque trivialement) que PAP−1−xI=P(A−xI)P−1.
Des matrices similaires ont le même déterminant ; c'est -à-dire que si S est inversible et de la même taille que A alors det(SAS - 1 ) = det(A) . [6.2. 5, page 265. En d'autres termes, le déterminant d'une transformation linéaire de R n vers lui-même reste le même si l'on utilise des coordonnées différentes pour R n .]
– deux matrices complexes A, B sont semblables si et seulement si dim(A − λId)k = dim(B − λId)k pour tout k; autrement dit si et seulement si pour tout λ ∈ C et pour tout 1 ≤ k ≤ n, les matrices (A−λId)k et (B − λId)k sont équivalentes.
Deux matrices sont semblables si et seulement si elles représentent un même endomorphisme dans deux bases prises simultanément comme base de départ et d'arrivée.
On dit que deux matrices A et B de Mn(K) M n ( K ) sont semblables s'il existe P∈GLn(K) P ∈ G L n ( K ) telle que A=PBP−1 A = P B P − 1 . Deux matrices semblables sont la représentation d'un même endomorphisme u dans des bases différentes.
Propriété : Deux matrices sont égales si, et seulement si, elles ont la même taille et ont les coefficients égaux placés aux mêmes positions.
Théorème : Supposons que A et B soient des matrices similaires. Alors A et B ont le même polynôme caractéristique et donc les mêmes valeurs propres. C’est le polynôme caractéristique de B, donc A et B ont le même polynôme caractéristique. Donc A et B ont les mêmes valeurs propres ■.
Si A est n × n, A et A−1 ont-ils les mêmes valeurs propres ? Non, sauf si toutes les valeurs propres de A sont égales à 1 ou -1 . En général, si λ est une valeur propre de A et que A−1 existe, alors 1/λ est une valeur propre de A−1 : Ax=λx⇒A−1(Ax)=A−1(λx)=λA−1x⇒ A−1x=(1/λ)x. UNE X = λ X ⇒ UNE − 1 ( UNE X ) = UNE − 1 ( λ X ) = λ UNE − 1 X ⇒ UNE − 1 X = ( 1 / λ ) X .
λ est dite valeur propre de la matrice A s'il existe un vecteur non nul X ∈ n tel que AX = λX. −2 11 −2 8 −7 6 . −2 11 −2 8 −7 6 −1 0 1 = 2 0 −2 = −2 −1 0 1 = −2X1.
Si A et B sont semblables, alors B = P–1AP. Puisque toutes les matrices sont inversibles, on peut prendre l’inverse des deux côtés : B–1 = (P–1AP)–1 = P–1A–1(P–1)–1 = P–1A–1P, donc A– 1 et B–1 sont similaires.
Comment montrer que la matrice n’est similaire qu’à elle-même ? Soit A n'importe quelle matrice carrée et soit P une matrice inversible et soit Q=P^-1. Alors A est similaire à B=PAP^-1 , pour toute matrice inversible P, puisque A=QBQ^-1 .
Non, toutes les matrices carrées ne sont pas similaires à leurs matrices inverses . Seules les matrices qui ont les mêmes valeurs propres et vecteurs propres peuvent être similaires à leurs matrices inverses.
Des matrices similaires représentent la même transformation linéaire sous un changement de base. Donc, vous vous attendez à ce qu’ils aient le même nullspace . Si cela ne résout pas le problème, vous pouvez alors essayer de comparer la nullité de XY avec la nullité de X où Y est inversible.
Les valeurs propres et la structure en blocs de Jordan d'une matrice sont conservées sous similarité , et la matrice X donne une relation entre les vecteurs propres de A et ceux de XAX−1. Notez que cela va dans les deux sens : deux matrices ont les mêmes valeurs propres et la même structure de bloc de Jordan si elles sont similaires.
En fait, une matrice n par n donnée A est similaire à une matrice diagonale (ce qui signifie qu'il existe une matrice X telle que X − 1 AX est diagonale) si et seulement si elle a n vecteurs propres linéairement indépendants. De telles matrices sont dites diagonalisables. Dans le domaine des nombres réels ou complexes, la vérité est bien plus grande.
Two similar matrices have the same eigenvalues, even though they will usually have different eigenvectors. Said more precisely, if B = Ai'AJ. I and x is an eigenvector of A, then M'x is an eigenvector of B = M'AM.
La matrice 𝐷 ayant un déterminant égal à 0, elle est de rang 2.
Solution : Considérons deux matrices similaires A et B, pour prouver que leurs déterminants sont les mêmes. Nous savons que si A et B sont des matrices similaires, alors P - 1 AP = B , où P est la matrice de changement de base. Par conséquent, les déterminants de deux matrices similaires A et B sont les mêmes.