Critères d'intégrabilité Une fonction réglée est intégrable sur un intervalle fermé. En particulier on en déduit que les fonctions continues, continues par morceaux, monotones ou encore à variations bornées sont toutes intégrables sur un intervalle fermé.
Soit f, une fonction intégrable sur I. Si f est une fonction à valeurs réelles, alors f + et f − sont intégrables sur I. Si f est une fonction à valeurs complexes, alors Re(f ) et Im(f ) sont intégrables sur I.
Définition : Une fonction localement intégrable sur est une fonction intégrable sur tout intervalle fermé borné contenu dans . Par exemple si I = [ a , + ∞ [ cela signifie que, pour tout , l'intégrale existe ∫ a x f ( t ) d t , ou encore que la fonction F : x ↦ ∫ a x f ( t ) d t est définie sur l'intervalle .
Définition — Soient E et F deux espaces topologiques, f une application de E dans F et a un point de E. La fonction f est dite continue au point a si f(a) est une limite de f en ce point. Si F est séparé (ou même seulement T1) comme tout espace métrisable, il suffit pour cela qu'il existe une limite de f en ce point.
Soit I un intervalle de R et f:I→R f : I → R . On dit que f est uniformément continue si ∀ε>0, ∃η>0, ∀(x,y)∈I2, |x−y|<η⟹|f(x)−f(y)|<ε.
Théorème Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a ∈ I. Si f est dérivable en a Alors f est continue en a. f(x) = f(a), et donc que f est donc continue en a.
On retiendra qu'une intégrale peut être positive ou négative mais qu'une aire, elle, est toujours positive.
Dérivabilité et continuité
La dérivabilité d'une fonction ne se cherche donc qu'en des points où la fonction est déjà continue. La réciproque de cette affirmation est fausse : il existe des fonctions continues en a mais non dérivables en ce point.
Pour démontrer qu'on ne peut pas prolonger une fonction f en un point a, on peut trouver deux suites (un) et (vn) qui tendent vers a telles que (f(un)) ( f ( u n ) ) et (f(vn)) ( f ( v n ) ) admettent des limites différentes (voir cet exercice).
On dit qu'une fonction est continue sur un intervalle si elle est continue en tout point de l'intervalle. Aux extrémités de l'intervalle, il faut comprendre continue par continue à droite ou continue à gauche.
les fonctions différentiables définies sur des variétés différentielles à valeurs numériques ou dans d'autres variétés. les fonctions arithmétiques à variable entière et à valeurs complexes. les fonctions booléennes à variables et valeurs dans l'algèbre de Boole.
Définition 4.2.1 - Intégrable au sens de Riemann. Une fonction f : [a, b] → R est dite intégrable au sens de Riemann (on dit aussi Riemann-intégrable sur [a, b]) si, pour tout ε > 0, il existe des fonctions étagées uε et vε ∈ E([a, b]) telles que : (i) uε 6 f 6 vε .
Si f est Riemann- intégrable sur [a, b], alors f est Lebesgue-intégrable sur [a, b], et les deux intégrales sont égales. f(x) = { 1 si x ∈ Q, 0 sinon. Cette fonction est nulle presque partout, donc elle est intégrable d'intégrale nulle au sens de Lebesgue.
Théorème : L'intégrale sur un segment d'une fonction continue de signe constant est nulle si et seulement si cette fonction est nulle. Proposition : Soit f:[−a,a]→C f : [ − a , a ] → C une fonction continue par morceaux.
Si la fonction est positive sur l'intervalle d'intégration, l'intégrale est positive et donc I_{n+1}-I_{n} est positif. Si la fonction est négative sur l'intervalle d'intégration, l'intégrale est négative et donc I_{n+1}-I_{n} est négatif.
Qu'appelle-t-on une intégrale impropre ? Si sur un certain intervalle le domaine sous la courbe de la fonction est illimité, alors l'intégrale de sur cet intervalle est dite impropre. C'est le cas si au moins l'une des bornes d'intégration est ou .
Définition intuitive : Une fonction est continue sur un intervalle, si sa courbe représentative peut se tracer sans lever le crayon. Étudier graphiquement la continuité des fonctions et définies et représentées ci-dessous sur l'intervalle [−2 ; 2].
On détermine la limite d'une fonction définie par morceaux à la frontière entre les deux morceaux. Ici les limites à droite et à gauche ne sont pas égales, et donc la limite cherchée n'existe pas.
Il s'agit en fait d'une propriété générale : une fonction n'est pas dérivable aux points où elle n'est pas continue.
La dérivée k-i`eme se note f(k) et on a f(k) = (f(k−1)) . On dit que f est indéfiniment dérivable si f est k-dérivable pour tout k. On dit que f est de classe Ck si f(k) existe et est continue.
Une fonction f:I→R f : I → R est donc dérivable en a si et seulement s'il existe α∈R α ∈ R et une fonction ε définie dans un intervalle J ouvert contenant 0 , vérifiant limh→0ε(h)=0 lim h → 0 ε ( h ) = 0 tels que ∀h∈J, f(a+h)=f(a)+αh+hε(h).
Dans le cas des fonctions négatives, l'intégrale vaut bien l'aire entre la courbe et l'axe des abscisses, mais avec un signe négatif devant. Une aire reste toujours positive alors qu'une intégrale d'une fonction négative est négative.
La différence entre primitive et intégrale est qu'une primitive est une fonction tandis qu'une intégrale est un réel exprimé comme une aire algébrique (pouvant être négatif).
Une intégrale est une surface : somme de a à b de f(x)dx signifie tout simplement que pour tout x entre a et b, on prend autour de x une toute petite longueur dx que l'on multiplie par la valeur de la fonction f au point x.
la limite en 0 de n'existe pas. On ne peut alors parler ni de nombre dérivé, ni de tangente en . Les limites à droite et à gauche en 0 du rapport n'étant pas égales, on ne peut parler de limite en 0. La fonction valeur absolue n'est donc pas dérivable en 0.