Est-ce que toute fonction continue est intégrable ?

Interrogée par: Aimé Ferrand  |  Dernière mise à jour: 11. Mai 2024
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Critères d'intégrabilité Une fonction réglée est intégrable sur un intervalle fermé. En particulier on en déduit que les fonctions continues, continues par morceaux, monotones ou encore à variations bornées sont toutes intégrables sur un intervalle fermé.

Comment savoir si une fonction est intégrable ?

Soit f, une fonction intégrable sur I. Si f est une fonction à valeurs réelles, alors f + et f − sont intégrables sur I. Si f est une fonction à valeurs complexes, alors Re(f ) et Im(f ) sont intégrables sur I.

Quelles sont les fonctions intégrables ?

Définition : Une fonction localement intégrable sur est une fonction intégrable sur tout intervalle fermé borné contenu dans . Par exemple si I = [ a , + ∞ [ cela signifie que, pour tout , l'intégrale existe ∫ a x f ( t ) d t , ou encore que la fonction F : x ↦ ∫ a x f ( t ) d t est définie sur l'intervalle .

Comment définir si une fonction est continue ?

Définition — Soient E et F deux espaces topologiques, f une application de E dans F et a un point de E. La fonction f est dite continue au point a si f(a) est une limite de f en ce point. Si F est séparé (ou même seulement T1) comme tout espace métrisable, il suffit pour cela qu'il existe une limite de f en ce point.

Comment montrer qu'une fonction intégrale est continue ?

Soit I un intervalle de R et f:I→R f : I → R . On dit que f est uniformément continue si ∀ε>0, ∃η>0, ∀(x,y)∈I2, |x−y|<η⟹|f(x)−f(y)|<ε.

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Comment montrer qu'une fonction dérivable est continue ?

Théorème Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a ∈ I. Si f est dérivable en a Alors f est continue en a. f(x) = f(a), et donc que f est donc continue en a.

Est-ce qu'une intégrale est toujours positive ?

On retiendra qu'une intégrale peut être positive ou négative mais qu'une aire, elle, est toujours positive.

Est-ce que toute fonction continue est dérivable ?

Dérivabilité et continuité

La dérivabilité d'une fonction ne se cherche donc qu'en des points où la fonction est déjà continue. La réciproque de cette affirmation est fausse : il existe des fonctions continues en a mais non dérivables en ce point.

Comment justifier qu'une fonction n'est pas continué ?

Pour démontrer qu'on ne peut pas prolonger une fonction f en un point a, on peut trouver deux suites (un) et (vn) qui tendent vers a telles que (f(un)) ( f ( u n ) ) et (f(vn)) ( f ( v n ) ) admettent des limites différentes (voir cet exercice).

C'est quoi une fonction continue sur un intervalle ?

On dit qu'une fonction est continue sur un intervalle si elle est continue en tout point de l'intervalle. Aux extrémités de l'intervalle, il faut comprendre continue par continue à droite ou continue à gauche.

Quels sont les 3 types de fonctions ?

les fonctions différentiables définies sur des variétés différentielles à valeurs numériques ou dans d'autres variétés. les fonctions arithmétiques à variable entière et à valeurs complexes. les fonctions booléennes à variables et valeurs dans l'algèbre de Boole.

Comment montrer qu'une fonction est intégrable au sens de Riemann ?

Définition 4.2.1 - Intégrable au sens de Riemann. Une fonction f : [a, b] → R est dite intégrable au sens de Riemann (on dit aussi Riemann-intégrable sur [a, b]) si, pour tout ε > 0, il existe des fonctions étagées uε et vε ∈ E([a, b]) telles que : (i) uε 6 f 6 vε .

Comment montrer qu'une fonction est intégrable au sens de Lebesgue ?

Si f est Riemann- intégrable sur [a, b], alors f est Lebesgue-intégrable sur [a, b], et les deux intégrales sont égales. f(x) = { 1 si x ∈ Q, 0 sinon. Cette fonction est nulle presque partout, donc elle est intégrable d'intégrale nulle au sens de Lebesgue.

Quand l'intégrale est nulle ?

Théorème : L'intégrale sur un segment d'une fonction continue de signe constant est nulle si et seulement si cette fonction est nulle. Proposition : Soit f:[−a,a]→C f : [ − a , a ] → C une fonction continue par morceaux.

Comment savoir si une intégrale est positive ou négative ?

Si la fonction est positive sur l'intervalle d'intégration, l'intégrale est positive et donc I_{n+1}-I_{n} est positif. Si la fonction est négative sur l'intervalle d'intégration, l'intégrale est négative et donc I_{n+1}-I_{n} est négatif.

Comment savoir si une intégrale est impropre ?

Qu'appelle-t-on une intégrale impropre ? Si sur un certain intervalle le domaine sous la courbe de la fonction ‍ est illimité, alors l'intégrale de ‍ sur cet intervalle est dite impropre. C'est le cas si au moins l'une des bornes d'intégration est ‍ ou ‍ .

Pourquoi une fonction est continue ?

Définition intuitive : Une fonction est continue sur un intervalle, si sa courbe représentative peut se tracer sans lever le crayon. Étudier graphiquement la continuité des fonctions et définies et représentées ci-dessous sur l'intervalle [−2 ; 2].

Qu'est-ce qu'une fonction non continue ?

On détermine la limite d'une fonction définie par morceaux à la frontière entre les deux morceaux. Ici les limites à droite et à gauche ne sont pas égales, et donc la limite cherchée n'existe pas.

Quand la fonction n'est pas dérivable ?

Il s'agit en fait d'une propriété générale : une fonction n'est pas dérivable aux points où elle n'est pas continue.

Comment savoir si une fonction est indéfiniment dérivable ?

La dérivée k-i`eme se note f(k) et on a f(k) = (f(k−1)) . On dit que f est indéfiniment dérivable si f est k-dérivable pour tout k. On dit que f est de classe Ck si f(k) existe et est continue.

Comment savoir si c'est dérivable ?

Une fonction f:I→R f : I → R est donc dérivable en a si et seulement s'il existe α∈R α ∈ R et une fonction ε définie dans un intervalle J ouvert contenant 0 , vérifiant limh→0ε(h)=0 lim h → 0 ε ( h ) = 0 tels que ∀h∈J, f(a+h)=f(a)+αh+hε(h).

Est-ce que l'intégrale peut être négative ?

Dans le cas des fonctions négatives, l'intégrale vaut bien l'aire entre la courbe et l'axe des abscisses, mais avec un signe négatif devant. Une aire reste toujours positive alors qu'une intégrale d'une fonction négative est négative.

Quelle est la différence entre une primitive et une intégrale ?

La différence entre primitive et intégrale est qu'une primitive est une fonction tandis qu'une intégrale est un réel exprimé comme une aire algébrique (pouvant être négatif).

Pourquoi DX dans une intégrale ?

Une intégrale est une surface : somme de a à b de f(x)dx signifie tout simplement que pour tout x entre a et b, on prend autour de x une toute petite longueur dx que l'on multiplie par la valeur de la fonction f au point x.

Pourquoi la valeur absolue n'est pas dérivable en 0 ?

la limite en 0 de n'existe pas. On ne peut alors parler ni de nombre dérivé, ni de tangente en . Les limites à droite et à gauche en 0 du rapport n'étant pas égales, on ne peut parler de limite en 0. La fonction valeur absolue n'est donc pas dérivable en 0.