Propriétés. Dans un espace métrique, toute suite convergente est de Cauchy.La réciproque n'est vraie que dans un espace complet, par exemple un espace de Banach, comme un espace vectoriel réel de dimension finie, muni de la distance associée à n'importe quelle norme. Toute suite de Cauchy est bornée.
Une suite (un)n∈N sera dite de Cauchy si pour tout ϵ > 0 il existe N ∈ N tel que |un − um| < ϵ pour tout m, n ≥ N. Proposition 3.2. Toute suite convergente est de Cauchy. pour tout n ≥ N.
Définition : Soit une suite réelle; on dit que est une suite de Cauchy ou vérifie le critère de Cauchy si : quel que soit , il existe un entier tel que les inégalités p ≥ N et n ≥ N entraînent | u p − u n | < ϵ .
Pour une série à termes réels ou complexes, exprimer que la suite des sommes partielles satisfait à la condition de Cauchy constitue une condition nécessaire et suffisante de convergence.
* Si (un) est croissante et majorée alors (un) converge. La suite « monte » mais est bloquée par « un mur » donc elle possède une limite finie. * Si (un) est décroissante et minorée alors (un) converge. La suite « descend » mais est bloquée par « un mur » donc elle possède une limite finie.
Suite convergente
contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang). On dit également qu'elle converge vers ℓ. Si une suite possède une limite réelle, on dit qu'elle est convergente ou qu'elle converge.
On dit qu'une suite un converge vers un réel L si pour tout intervalle ouvert U contenant L, tous les termes de la suite appartiennent à U sauf un nombre fini. L est la limite de la suite un et elle est unique. Une suite est divergente si elle n'est pas convergente.
En mathématiques, une série est dite convergente si la suite de ses sommes partielles a une limite dans l'espace considéré. Dans le cas contraire, elle est dite divergente.
Pour calculer le rayon de convergence on fait souvent appel à la méthode suivante liée à la règle de d'Alembert. Pour z 0 = C ∗ , considérons la série à termes complexes ∑ a n z 0 n . Le terme général est u n = a n z 0 n .
Théorème : R , C sont des espaces métriques complets. Une partie A de E est complète si l'espace métrique induit (A,d) est complet. Proposition : Si E est un espace métrique complet et A⊂E A ⊂ E , alors A est complet si et seulement si A est fermé.
En mathématiques, la suite de Fibonacci est une suite de nombres entiers dont chaque terme successif représente la somme des deux termes précédents, et qui commence par 0 puis 1. Ainsi, les dix premiers termes qui la composent sont 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 et 34.
On peut se retrouver dans plusieurs cas : Si la suite a une infinité de pics, alors la suite des pics forme une sous-suite décroissante. Sinon, on peut construire une sous-suite croissante. On prend comme premier terme un terme d'indice supérieur à tous les pics, puis un terme d'indice encore supérieur, etc.
une suite bornée n'est pas nécessairement convergente (contre-exemple : un = (–1)n est bornée — majorée par 1 et minorée par –1 — mais n'admet pas de limite) ; pour qu'une suite tende vers ±∞, il ne suffit pas qu'elle soit non bornée (contre-exemple : la suite qui vaut 0 pour n pair, et n pour n impair).
Avec des quantificateurs, la propriété lim un = l se traduit par ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N, ∀n ≥ n0, l − ε ≤ un ≤ l + ε. On peut aussi remplacer l − ε ≤ un ≤ l + ε par |un − l| ≤ ε.
Définitions : On dit qu'une suite ( )un est divergente lorsque qu'elle ne converge pas. Une suite divergente est donc une suite qui n'admet par de limite ou qui admet +õ ou –õ comme limite.
Les séries entières sont les séries dont le terme général est de la forme aₙ(x - a)ⁿ.
1 n(n + 1) converge et a pour somme 1. n diverge. Si la série ∑ un converge, alors le terme général un tend vers 0 quand n tend vers + & . Attention : la réciproque de ce théorème est fausse et il existe des séries dont le terme général tend vers 0 et qui sont divergentes (voir ∑ 1 n ci-dessous).
En mathématiques, une série infinie est dite divergente si la suite de ses sommes partielles n'est pas convergente. En ce qui concerne les séries de nombres réels, ou de nombres complexes, une condition nécessaire de convergence est que le terme général de la série tende vers 0.
La série harmonique diverge
En calculant les premières sommes partielles de la série harmonique, il apparaît que la suite de nombres obtenus est croissante, mais à croissance lente : on pourrait croire qu'il s'agit d'une série convergente. En fait, la série harmonique diverge, ses sommes partielles tendent vers +∞.
l est un nombre réel. suite convergente et converge vers l. Démonstration : A partir d'un certain rang un⩽vn⩽wn , c'est à dire qu'il existe un entier naturel N tel que si n⩾N alors un⩽vn⩽wn . Soit I un intervalle ouvert contenant l.
(L'unité de convergence est le m−1 ou dioptrie.)
Pour démontrer qu'une suite (un) est divergente, on peut trouver deux suites extraites de (un) qui convergent vers des valeurs différentes; on peut la minorer par une suite tendant vers +∞ .
Petit exercice: Montrer qu'une suite constante est convergente. une suite constante est a la fois croissante et decroissante. Or toute suite croissante est minorée par son 1er terme , et toute suite decroissante et majorée par son 1er terme.