Une suite croissante est minorée par son premier terme, et une suite décroissante est majorée par son premier terme (sera démontré par récurrence plus tard).
On dit que la suite u est minorée lorsqu'il existe un réel m tel que pour tout entier naturel n, un ≥ m. Le nombre m est alors appelé un minorant de la suite u. On dit que la suite u est bornée lorsqu'elle est à la fois majorée et minorée. Si la suite u est une suite croissante et majorée, alors elle converge.
Définitions : • Une suite est croissante si chaque terme est supérieur ou égal à son précédent : un+1 ≥ un ou: Une suite est décroissante si chaque terme est inférieur ou égal à son précédent : un+1 ≤ un ou: Une suite est monotone si elle est croissante ou si elle est décroissante.
f est minorée s'il existe m∈R m ∈ R tel que f(x)≥m f ( x ) ≥ m pour tout x∈E x ∈ E .
Propriété : Toute suite convergente est bornée. Donc si une suite n'est pas bornée, elle n'est pas convergente ! Mais, attention ! Il existe des suites bornées qui ne sont pas convergentes, par exemple la suite de terme général .
On dit que la suite u est majorée lorsqu'il existe un réel M tel que pour tout entier naturel n, un ≤ M. Le nombre M est alors appelé un majorant de la suite u. On dit que la suite u est minorée lorsqu'il existe un réel m tel que pour tout entier naturel n, un ≥ m.
Sens de variation, convergence et majoration/minoration
Si une suite est croissante et converge vers L, alors elle est majorée par L. Si une suite est décroissante et converge vers L, alors elle est minorée par L.
· On dit que f est minorée, s'il existe un réel m tel que . Dans ce cas, on appelle borne inférieure de f sur l'intervalle I, noté , le plus grand minorant de f. · On dit que f est bornée, si f est à la fois majorée et minorée. f est donc bornée s'il existe deux réels M et m tels que .
Théorème : Soit I un intervalle de R et f:I→R f : I → R dérivable. Alors : f est croissante sur I si et seulement si, pour tout x∈I x ∈ I , f′(x)≥0 f ′ ( x ) ≥ 0 ; f est strictement croissante sur I si et seulement si f′≥0 f ′ ≥ 0 et si f′ n'est identiquement nulle sur aucun intervalle [a,b]⊂I [ a , b ] ⊂ I avec a<b .
f est strictement croissante si et seulement si pour tout x ∈ I, f ' (x) ≥ 0 et de plus l'ensemble des points où la dérivée f ' s'annule est d'intérieur vide (c'est-à-dire qu'il ne contient aucun intervalle non trivial).
2/ Théorèmes de convergence
* Si (un) est croissante et majorée alors (un) converge. La suite « monte » mais est bloquée par « un mur » donc elle possède une limite finie. * Si (un) est décroissante et minorée alors (un) converge. La suite « descend » mais est bloquée par « un mur » donc elle possède une limite finie.
Suites monotones
Une suite réelle monotone est une fonction monotone (c'est-à-dire croissante ou décroissante) de ℕ dans ℝ. De même, une suite réelle est dite strictement monotone lorsqu'elle est strictement croissante ou strictement décroissante.
Diminuer l'importance de quelque chose, lui accorder une valeur moindre : Minorer un incident diplomatique. 2. Porter quelque chose à un chiffre inférieur : Minorer les prix de 10 %.
La relation x ≥ y se dit x est supérieur ou égal `a y. Si x ≤ y, on dit que x minore y ou que y majore x. Soit E un sous-ensemble de R, on dit a est un majorant de E si a majore tous les éléments de E.
Une suite (un) est majorée s'il existe un réel M tel que ┐n☻N, un  M. M est alors un majorant et il existe une infinité de majorants. Une suite (un) est bornée si elle est à la fois minorée et majorée, donc s'il existe un encadrement sous la forme : ┐n☻N, m  un  M.
Lorsqu'on se promène sur la courbe en allant de la gauche vers la droite : Sur l'intervalle [0 ; 2,5], on monte, on dit que la fonction est croissante. Sur l'intervalle [2,5 ; 5], on descend, on dit que la fonction est décroissante.
Une fonction est dite strictement croissante sur un intervalle de x si les valeurs de y ne font qu'augmenter. Une fonction est dite strictement décroissante sur un intervalle de x si les valeurs de y ne font que diminuer.
La droite (d) représentant la fonction f définie par f(x) = ax + b a pour coefficient directeur a et pour ordonnée à l'origine b. Remarques : - Si le coefficient directeur est positif alors la droite « monte ». On dit que la fonction affine associée est croissante.
On dit que f admet un minimum en a si, pour tout x∈I x ∈ I , f(x)≥f(a) f ( x ) ≥ f ( a ) . On parle parfois de maximum ou de minimum global de la fonction, et on dit que f(a) est le maximum (resp. le minimum) de f sur I . On dit aussi que m est un extremum de f si c'est un maximum ou un minimum.
Un maximum d'une fonction se trouve où la dérivée est nulle et la dérivée seconde est strictement négative. Un minimum d'une fonction se trouve où la dérivée est nulle et la dérivée seconde est strictement positive.
n étant fixé, il existe R=√n>0 tel que ||M||≤R donc On(R) est une partie bornée de Mn(R).
Comme la suite est non majorée, il existe au moins un terme up de la suite tel que up > A. Or la suite étant croissante, si l'on prend n supérieur à p, on aura un supérieur à up, c'est-à- dire, un supérieur à A. Donc on a prouvé que, à partir du terme up, tous les termes de la suite sont supérieurs à A.
En effet, si |xn| ≤ K pour tout n > N alors |xn| ≤ M pour tout n, en posant M = max(|x0|, |x1|, … , |xN|, K). Toute suite convergente est par conséquent bornée (par exemple la suite un = (–1)n/(n + 1), qui converge vers 0, reste comprise entre u1 = –1/2 et u0 = 1).
Une suite est convergente si et seulement si les suites ( u 2 n ) et ( u 2 n + 1 ) sont convergentes et ont même limite.