Un nombre relatif est un nombre qui peut être positif, négatif ou nul (zéro). Ils englobent donc à la fois les nombres entiers et les nombres décimaux.
En mathématiques, un entier relatif, un entier rationnel ou simplement un nombre entier est un nombre qui se présente comme un entier naturel auquel on a adjoint un signe positif ou négatif indiquant sa position par rapport à 0 sur un axe orienté.
Un nombre relatif est formé d'un signe + ou – et d'un nombre appelé distance à zéro. Exemple 1 : (+5) est un nombre relatif, son signe est + et sa distance à zéro est 5. (-3) est un nombre relatif, son signe est - et sa distance à zéro est 3.
Les nombres relatifs
Définition : un nombre muni d'un signe + ou d'un signe − est appelé nombre relatif. Exemples : + 5 ; -2,1 ; + 600,03 ; -0,01 ; -4. Ces valeurs se rencontrent dans ma vie quotidienne : les températures positives ou négatives, les ascenseurs lorsqu'il y a des sous-sols, etc.
En 1821, Augustin Louis Cauchy (1789 ; 1857) dans son "Cours d'analyse de l'Ecole royale polytechnique" définit les nombres relatifs comme une partie numérique précédée d'un signe + ou -.
Quand sont apparus les nombres relatifs? La première apparition des nombres négatifs, avec additions et soustractions, est dans des textes indiens autour 5ème siècle après J.C. Au 10ème siècle, on les retrouve dans les écrits du mathématicien perse Abu l-Wafa.
Les nombres entiers sont tous les nombres qui ne possèdent pas de nombres après la virgule (de décimales). Les nombres entiers naturels et les nombres entiers négatifs font ensemble les nombres entiers relatifs, c'est-à-dire positifs ou négatifs. 5 est un nombre entier : il ne possède pas de décimales.
0 est le seul nombre relatif à la fois positif et négatif. Il peut s'écrire + 0 ou − 0. Les nombres positifs sont les seuls nombres qui peuvent s'écrire sans leur signe.
Propriété : la somme de deux nombres opposés est égale à zéro. Exemple : (+5,4) + (–5,4) = 0 +5,4 et –5,4 sont à la même distance de zéro et on a fait 5,4 – 5,4 pour trouver 0.
Pour donner l'inverse d'un nombre relatif en écriture fractionnaire, il suffit d'échanger numérateur et dénominateur. \frac{-7}{8} a pour inverse \frac{8}{-7} = \frac{-8}{7}.
Soustraire un nombre équivaut à ajouter l'opposé de ce nombre. Donc la règle est similaire à celle de l'addition. Deux nombres de même signe donnent un résultat positif. Deux nombres de signes opposés donnent un résultat négatif.
Tout entier naturel ou tout nombre décimal est un nombre relatif.
Tout entier naturel et tout nombre décimal est un nombre relatif.
Il désigne l'ensemble des nombres entiers naturels (exemples : 0 1 2 3 7). Si l'on note ℕ*, cela signifie que l'on exclut le zéro. L'ensemble ℤ vient de l'allemand zahlen qui signifie compter. Ainsi défini par Dedekind, il recouvre l'ensemble des nombres entiers relatifs (exemples : -3 -1 0 1 5).
Nombre entier (c'est-à-dire ne possédant pas de décimales) précédé d'un signe positif ou négatif. Si aucun signe n'est précisé, cela sous-entend que le nombre est positif. L'ensemble des entiers relatifs a pour symbole un z ajouré ou un Z majuscule. Exemple : -10, -5, 0, +5, +10 sont des nombres entiers relatifs.
Z représente l'ensemble des entiers relatifs. (Mathématiques) Entier naturel muni d'un signe positif (+) ou négatif (−). Note : l'absence de signe lors de l'écriture d'un nombre présume que celui-ci est positif. −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3 sont des entiers relatifs.
Pour calculer un produit de plusieurs nombres relatifs, on détermine son signe, puis on multiplie les distances à zéro. Autrement dit, on détermine son signe, puis on multiplie les nombres sans les signes. Multiplier un nombre par (-1) revient à prendre son opposé.
Définition 1 : Un nombre relatif est formé d'un signe + ou – et d'un nombre appelé distance à zéro. Exemple 1 : (+5) est un nombre relatif, son signe est + et sa distance à zéro est 5.
On peut en déduire que l'inverse de 5 est 0,2 et que l'inverse de 0,2 est 5. Un nombre et son inverse ont le même signe.
Le point D d'abscisse -4,5 est à 4,5 unités de l'origine : OD = 4,5 On dit que sa distance à zéro est de 4,5.
Définition : la distance à zéro d'un nombre est ce nombre sans son signe. Exemples : Pour 0, elle est égale à 0. Pour +4,1, elle est égale à 4,1 ; c'est la longueur du segment [OA]. Pour -2,5, elle est égale à 2,5 ; c'est la longueur du segment [OB].
Pour multiplier deux nombres relatifs, on multiplie les distances à zéro et on applique la règle des signes : • le produit de deux nombres relatifs de même signe est positif ; • le produit de deux nombres relatifs de signes contraires est négatif. Exemple 1 : Effectue la multiplication : A = (– 4) × (– 2,5).
N∗ représente l'ensemble des nombres naturels sans 0. 0. Z+ représente l'ensemble des entiers positifs. Q− représente l'ensemble des nombres rationnels négatifs seulement.
L'ensemble des nombres entiers, représenté par le symbole Z, regroupe tous les nombres naturels (entiers positifs) et leurs opposés (entiers négatifs).
Les entiers naturels s'identifient aux entiers relatifs positifs (ou nuls), ainsi qu'aux nombres rationnels positifs (ou nuls) pouvant s'écrire sous la forme d'une fraction de dénominateur 1, et d'une manière plus générale aux réels positifs (ou nuls) de partie fractionnaire nulle.