Définition. Une application linéaire de E dans F est une application f:E → F telle que pour tous vecteurs u, v ∈ E et tout scalaire λ ∈ K, • f(u + v) = f(u) + f(v), • f(λu) = λf(u). Si F = K on dit que f est une forme linéaire.
Alors on définit une forme linéaire sur $E$ en la définissant sur $\vect(x,y)$ par $\phi(ax+by)=a$ et sur $F$ par $\phi(z)=0$ pour tout $z\in F$. Alors, $\phi(x)=1$ et $\phi(y)=0$ et donc $\phi(x)\neq\phi(y)$.
Définition. On dit qu'une application linéaire f : Rn → Rm est injective si deux vecteurs différents ont des images différents surjective Si Im(f ) atteint tout l'espace d'arrivée Rm. bijective (ou bien un automorphisme) si n = m et que f est inversible.
En algèbre linéaire, si f est une application linéaire, alors f(0)=0 (où 0 est le vecteur nul).
Toute informatique stochastique partielle (Stochastic Partial Information ou SIP(p)), qui peut être considérée comme une solution d'un système d'inégalité linéaire, est appelé Information partielle linéaire (Linear Partial Informations ou LPI(p)) concernant une probabilité p.
Définition Si f : E → F est une application linéaire, son noyau, noté Kerf est l'ensemble des vecteurs de E que f annule : Kerf := {v ∈ E|f (v)=0}. Le noyau de la projection p := (x,y,z) ↦→ (x,y,0) de R3 sur son plan horizontal est l'axe vertical défini par x = y = 0.
Si on note par f l'application linéaire alors : ⋅ f(x) ⋅ f ( x ) ("lire f de x ") est l'image de x par l'application linéaire f. f . ⋅ a est appelé le coefficient de l'application linéaire.
Applications bien définies : pour qu'une application f de E dans F soit bien définie, il faut que pour tout élément x de E, f(x) soit bien définie et soit dans F. Tant que ces conditions sont satisfaites, on peut très bien prendre comme ensembles de départ et d'arrivée des ensemble peu naturels.
Remarque. Pour montrer qu'un endomorphisme f ∈ L(E) est bijective, il suffit de montrer que f est injectif (en montrant par exemple que Ker(f) = {0E}) ou que f est surjectif (en montrant Im(f) = F).
Pour deux espaces vectoriels E et F et deux applications linéaires f et g de E dans F, si f(x) est un multiple de g(x) pour tout vecteur x de E, alors f est la composée de g par une homothétie de F.
Soit f une application de P dans P. Si tout élément de P possède un antécédent unique par f, f est dite bijective ou encore on dit que f est une transformation de P dans P.
Applications linéaires sur un espace de dimension finie
Soit E et F deux espaces vectoriels réels normés. Si E est de dimension finie alors (quel que soit le choix de la norme sur E, puisque toutes sont équivalentes), toute application linéaire sur E est continue.
3. Deux formes linéaires non nulles ont le même noyau si et seulement si elles sont proportionnelles avec un coefficient de proportionnalité non nul. 4. Tout hyperplan est le noyau d'une forme linéaire ϕ (définie à une constante de proportionnalité près).
Une application f : E → F est dite continue en a si x → a ⇒ f(x) → f(a). Exemple 2.1.2 Soit a ∈ E et (E,d) un espace métrique. L'application x ↦→ d(a, x) est continue de E dans [0, ∞[.
La représentation graphique d'une fonction linéaire est une droite passant par l'origine du repère. La représentation graphique d'une fonction affine est une droite passant par le point de coordonnées (0 ; b). Vocabulaire : a est appelé le coefficient directeur de la droite.
Définition : Soit a et b deux nombres réels. Toute fonction f définie sur R par f(x) = ax + b est appelée fonction affine. Remarque : lorsque b = 0, f(x) = ax. On dit que f est une fonction linéaire.
Une fonction affine est une fonction linéaire avec l'ordonnées à l'origine b = 0 b=0 b=0. Toute fonction affine et linéaire admet une droite comme représentation graphique. Toute droite est représentée par l'équation f ( x ) = a x + b f(x)=ax+b f(x)=ax+b.
Ker est un appellatif toponymique breton utilisé le plus souvent comme premier élément d'un toponyme. Il désigne un lieu habité, un domaine, un hameau. Il est également courant dans les patronymes bretons.
On appelle image d'une application f (d'un ensemble A vers un ensemble B) l'image directe par f de l'ensemble de départ A. C'est donc le sous-ensemble de B contenant les images de tous les éléments de A, et uniquement ces images. On le note Im(f).
On appelle noyaude la matrice A, noté Ker (A) , l'ensemble des matrices colonnes X ∈ Mq,1(R) telles que AX = (0)p×1 .
Une application linéaire est inversible f : E → F si et seulement si elle est bijective, et il ne peut alors y avoir qu'une g vérifiant les égalités de la définition. On la note f−1. De plus si E est de type fini, on a dim(F) = dim(E).
1. Ensemble des opérations ayant pour objet l'élaboration, la rédaction et l'édition de cartes. 2. Représentation spatiale d'une réalité non géographique : Cartographie chromosomique.
Résumé Dans ce texte fondateur de la théorie de l'information, Shannon définit la notion de communication, la fonde sur celle de probabilité, définit le terme bit comme mesure logarithmique de l'information, ainsi que la notion d'entropie informatique (par analogie avec celle de Boltzmann en physique statistique).