Autrement dit, si une fonction est intégrable sur I=]a,b[ I = ] a , b [ , alors son intégrale sur I est convergente.
On dit que l'intégrale ∫baf ∫ a b f est convergente si la fonction x↦∫xaf(t)dt x ↦ ∫ a x f ( t ) d t admet une limite finie lorsque x tend vers b .
1 xα dx est convergente si et seulement si α < 1. Démonstration : C'est la même que la proposition précédente sauf qu'on regarde cette fois la limite quand a tend vers 0. Dans ce cas, a1−α convergera si et seulement si α < 1. En résumé : 1/x est toujours le cas critique et n'est jamais intégrable.
Étude d'une intégrale semi-convergente
On commence par remarquer que quand x tend vers , on a : lim x → 0 sin x x = 1 . La fonction se prolonge en une fonction continue en . Il n'y a pas de problème de convergence en .
Définition : Quand une intégrale ne converge pas, on dit qu'elle diverge. La nature d'une intégrale généralisée est le fait qu'elle converge ou qu'elle diverge.
On dit que f est intégrable sur I ou que ∫If ∫ I f est absolument convergente si ∫I|f| ∫ I | f | converge. Théorème : Si f est intégrable sur I , alors ∫If(t)dt ∫ I f ( t ) d t converge. Si ∫If(t)dt ∫ I f ( t ) d t converge sans que f ne soit intégrable sur I , alors on parle d'intégrale semi-convergente.
Grossièrement, l'intégrale de f représente l'aire entre la courbe de f et l'axe des abscisses en comptant positivement ce qui est au-dessus et négativement ce qui en-dessous de cet axe. Si ton intégrale a l'air négative c'est que l'aire en-dessous de l'axe des abscisses est plus importante que celle qui est au-dessus.
On veut pouvoir dire que la suite de fonctions (fn) converge vers f lorsque la courbe représentative de la fonction fn se rapproche, quand n tend vers l'infini, de celle de f.
On dit que la série ∑un ∑ u n converge si la suite de ses sommes partielles (Sn) est convergente. On dit qu'elle diverge dans le cas contraire. Dans le cas de la convergence, on note +∞∑k=0uk=limn→+∞Sn. ∑ k = 0 + ∞ u k = lim n → + ∞ S n .
En mathématiques, une série est dite convergente si la suite de ses sommes partielles a une limite dans l'espace considéré.
Si les suites (un) et (wn) convergent vers une même limite finie l, alors la suite (vn) est convergente et converge vers cette même limite l. un = l. Si (un) est une suite bornée et si (vn) est une suite convergente vers 0, alors la suite (unvn) converge vers 0.
Toute fonction en escalier est bornée car elle ne prend qu'un nombre fini de valeurs. Si f est réglée, il existe ϕ en escalier telle que, pour tout x ∈ [a, b], |f(x) − ϕ(x)| ≤ 1, et donc |f(x)|≤|ϕ(x)| + 1, ce qui prouve que f est bornée.
Si sur un certain intervalle le domaine sous la courbe de la fonction est illimité, alors l'intégrale de sur cet intervalle est dite impropre. C'est le cas si au moins l'une des bornes d'intégration est ou .
Si f est Riemann- intégrable sur [a, b], alors f est Lebesgue-intégrable sur [a, b], et les deux intégrales sont égales. f(x) = { 1 si x ∈ Q, 0 sinon. Cette fonction est nulle presque partout, donc elle est intégrable d'intégrale nulle au sens de Lebesgue.
f est dite intégrable sur [a, b] si et seulement si I[a,b](f) = I[a,b](f) (pincement).
On appelle ce nombre réel intégrale impropre (ou généralisée) de sur . Si la fonction x ↦ ∫ a x f ( t ) d t n'a pas de limite quand tend vers , on dit que l'intégrale ∫ a ω f ( t ) d t est divergente.
un = 0. Si une série converge, son terme général tend vers 0. Dans le cas où le terme général ne tend pas vers 0, on dit que la série diverge grossièrement. (vk+1 −vk) = vn+1 −v0 Les suites (sn) et (vn+1) sont de même nature, il en est de même de (vn).
La convergence signifie que deux moyennes mobiles se rejoignent, tandis que la divergence signifie qu'elles s'éloignent l'une de l'autre.
Si la lentille est convergente, l'image est grossie (grossissement>1), et lorsqu'on déplace la lentille dans un sens, l'image défile dans l'autre sens. Si la lentille est divergente, l'image est rétrécie (grossissement<1), et défile dans le même sens que le déplacement de la lentille.
L'intégrale définie d'une constante est proportionnelle à la longueur de l'intervalle d'intégration : 𝑐 𝑥 = 𝑐 ( 𝑏 − 𝑎 ) . d. En permutant les bornes de l'intégrale, on obtient 𝑓 ( 𝑥 ) 𝑥 = − 𝑓 ( 𝑥 ) 𝑥 .
Intégrale et primitives
L'intégrale de la fonction nulle est nulle sur tout intervalle inclus dans l'ensemble des réels ; les primitives de la fonction nulle (sur ℝ) sont donc les fonctions constantes.
L'intégrale est utilisée pour calculer l'aire située sous une fonction. Cette technique est très utilisée en architecture mais aussi en probabilités continues ou même pour la construction des autoroutes.
Théorème (théorème fondamental du calcul intégral) : Si f est une fonction continue et positive sur [a,b] , alors la fonction F définie sur [a,b] par F(x)=∫xaf(t)dt F ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t est dérivable sur [a,b] , et a pour dérivée f .
Si, pour tout entier naturel n, I_{n+1}-I_{n}\geqslant 0, on en déduit que la suite est croissante. Si, pour tout entier naturel n, I_{n+1}-I_{n}\leqslant 0, on en déduit que la suite est décroissante.
Oui : elle est bornée car continue sur un segment, donc la valeur absolue de la fonction admet une intégrale finie.