La droite (d) représentant la fonction f définie par f(x) = ax + b a pour coefficient directeur a et pour ordonnée à l'origine b. Remarques : - Si le coefficient directeur est positif alors la droite « monte ». On dit que la fonction affine associée est croissante.
La fonction linéaire ou affine est croissante si son coefficient directeur est positif, décroissante s'il est négatif et constante s'il est nul (la fonction est alors égale à un nombre et son expression ne comprend pas de x .
Théorème : Soit I un intervalle de R et f:I→R f : I → R dérivable. Alors : f est croissante sur I si et seulement si, pour tout x∈I x ∈ I , f′(x)≥0 f ′ ( x ) ≥ 0 ; f est strictement croissante sur I si et seulement si f′≥0 f ′ ≥ 0 et si f′ n'est identiquement nulle sur aucun intervalle [a,b]⊂I [ a , b ] ⊂ I avec a<b .
Lorsqu'une application affine est croissante, sa représentation graphique est une droite « montante » de la gauche vers la droite. Lorsqu'une application affine est décroissante sa représentation graphique est une droite « descendante » de la gauche vers la droite.
Soit f : x ↦→ mx + p une fonction affine, avec m 0. Si m > 0, alors f est strictement croissante. Si m < 0, alors f est strictement décroissante.
Si f ^ { \prime } est strictement positive sur \text{I,} sauf pour un nombre fini de réels où elle s'annule, alors f est strictement croissante sur \text{I.} Si f ^ { \prime } est strictement négative sur \text{I,} sauf pour un nombre fini de réels où elle s'annule, alors f est strictement décroissante sur \text{I.}
Une fonction f est décroissante sur un intervalle I lorsqu'elle inverse l'ordre des nombres sur cet intervalle. Autrement dit, quelque soient les réels et appartenant à I, si alors f ( a ) ≥ f ( b ) .
Une fonction est dite strictement croissante sur un intervalle de x si les valeurs de y ne font qu'augmenter. Une fonction est dite strictement décroissante sur un intervalle de x si les valeurs de y ne font que diminuer.
Pour montrer qu'une fonction f(x) est croissante, il suffit de montrer f(x + a) > f(x) si a est strictement positif ou ce qui revient au même que f(x + a) - f(x) > 0 si a > 0. Avec f(x) = x3 on y arrive comme suit : (x+a)3−x3=x3+3ax2+3a2x+a3−x3.
* Si une fonction est affine, alors sa représentation graphique est une droite (qui n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées). * Réciproquement, si la représentation graphique d'une fonction est une droite (qui n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées), alors cette fonction est affine.
Pour une fonction donnée, y = F(x), si la valeur de y augmente en augmentant la valeur de x, alors la fonction est dite fonction croissante, et si la valeur de y diminue en augmentant la valeur de x, alors la fonction est appelée fonction décroissante.
Le sens de variation d'une fonction affine dépend du signe du coefficient directeur a a a. Ce coefficient directeur représente la « pente » de la droite représentative de f f f. Si a > 0 a > 0 a>0 la fonction est croissante, la droite « monte ». Si a = 0 a=0 a=0 la fonction est constante, la droite est horizontale.
Pour une fonction à valeur réelle f(x), l'intervalle I est dit être un intervalle croissant si pour tout x < y, nous avons f(x) ≤ f(y) . Pour une fonction à valeur réelle f(x), l'intervalle I est dit être un intervalle décroissant si pour tout x < y, on a f(x) ≥ f(y).
Détermination du coefficient directeur de la droite : Détermination de l'ordonnée à l'origine : Il suffit de lire l'ordonnée du point d'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées. L'équation est de la forme y = px + d.
On peut calculer le coefficient directeur grâce à la formule a = y B - y A x B - x A . Ici, cela donne ... a = 8 - 5 2 - 1 - = 3 1 = 3 .
Croissance : Une fonction est croissante sur un intervalle I si et seulement si : pour tout a et b de I, Si a < b alors f(a) < f(b). Décroissance : Une fonction est décroissante sur un intervalle I si et seulement si : pour tout a et b de I, Si a < b alors f(a) > f(b).
Si le graphique monte en regardant de gauche à droite , alors c'est une fonction croissante. Une autre façon est de voir si la dérivée de la fonction est positive en tout point de l'intervalle, si c'est le cas, alors c'est une fonction croissante.
Si f(X) est supérieur ou égal à f(x), la fonction est dite fonction croissante . Si f(X) est toujours supérieur à f(x), la fonction est dite strictement croissante .
Ensuite, nous pouvons substituer les valeurs entières des points du domaine dans la dérivée première de la fonction. Ensuite, nous examinons le signe de la dérivée première en différents points du domaine. S'il est positif, la fonction doit être augmentée sur tout le domaine et s'il est négatif, la fonction doit être diminuée.
Pour déterminer les intervalles de croissance et de décroissance strictes d'une fonction, on peut étudier sa dérivée, 𝑓 ′ ( 𝑥 ) . Si 𝑓 est dérivable sur un intervalle ouvert, alors 𝑓 est strictement croissante sur les intervalles où 𝑓 ′ ( 𝑥 ) > 0 et est strictement décroissante sur les intervalles où 𝑓 ′ ( 𝑥 ) < 0 .
si f ' est positive sur I la fonction est croissante sur I. si f ' est négative sur I la fonction est décroissante sur I. Remarques : pour le vocabulaire mathématique, "positive" signifie "positive ou nulle" (et "négative" veut dire "négative ou nulle").
On démontre qu'une fonction est convexe sur un intervalle si et seulement si sa dérivée est croissante sur cet intervalle, autrement dit si sa dérivée seconde est positive sur cet intervalle.
Répondre. Réponse finale : la fonction C, h(x) = 2^x - 1 , est la seule option qui augmente sur l'intervalle (-∞, ∞) car c'est une fonction exponentielle avec une base positive, qui augmente à mesure que x augmente.
L'ordre croissant est une disposition de nombres allant du plus petit au plus grand. L'ordre décroissant est une disposition de nombres allant du plus grand au plus petit. Les nombres peuvent être ordonnés du plus petit au plus grand ou dans le sens inverse.