1 xα dx est convergente si et seulement si α < 1. Démonstration : C'est la même que la proposition précédente sauf qu'on regarde cette fois la limite quand a tend vers 0. Dans ce cas, a1−α convergera si et seulement si α < 1. En résumé : 1/x est toujours le cas critique et n'est jamais intégrable.
On dit que l'intégrale ∫baf ∫ a b f est convergente si, pour un (ou de façon équivalente pour tout) c∈]a,b[ c ∈ ] a , b [ , la fonction x↦∫xcf(t)dt x ↦ ∫ c x f ( t ) d t admet une limite finie lorsque x tend vers b et la fonction x↦∫cxf(t)dt x ↦ ∫ x c f ( t ) d t admet une limite finie lorsque x tend vers a .
Par exemple, ∫ 0 1 1 x d x = lim a → 0 + ∫ a 1 1 x d x . Si l'aire sous la courbe du domaine illimité est finie, alors l'intégrale impropre correspondante est dite convergente. Si cette aire est infinie, elle est dite divergente.
Étude d'une intégrale semi-convergente
On commence par remarquer que quand x tend vers , on a : lim x → 0 sin x x = 1 . La fonction se prolonge en une fonction continue en . Il n'y a pas de problème de convergence en .
Une intégrale impropre est convergente si sa valeur est finie, dans le cas contraire elle est divergente.
Une suite est convergente si elle tend vers un nombre fini ; une suite est divergente si elle tend vers l'infini ou si elle n'a pas de limite. Une suite (un) est convergente vers un nombre réel l si, pour tout intervalle I centré en l, il existe un rang p, à partir duquel les termes de cette suite appartiennent à I.
Si une série converge, son terme général tend vers 0. Dans le cas où le terme général ne tend pas vers 0, on dit que la série diverge grossièrement.
On dit que la série ∑un ∑ u n converge si la suite de ses sommes partielles (Sn) est convergente. On dit qu'elle diverge dans le cas contraire. Dans le cas de la convergence, on note +∞∑k=0uk=limn→+∞Sn. ∑ k = 0 + ∞ u k = lim n → + ∞ S n .
En mathématiques, une série est dite convergente si la suite de ses sommes partielles a une limite dans l'espace considéré.
On considère donc une série ∑ u n à termes réels. On a, pour tout : u n + ≤ | u n | et u n − ≤ | u n | . Ainsi, si la série ∑ | u n | est convergente, il en est de même des séries ∑ u n + et ∑ u n − , et donc de la série ∑ u n .
Si la lentille est convergente, l'image est grossie (grossissement>1), et lorsqu'on déplace la lentille dans un sens, l'image défile dans l'autre sens. Si la lentille est divergente, l'image est rétrécie (grossissement<1), et défile dans le même sens que le déplacement de la lentille.
La convergence signifie que deux moyennes mobiles se rejoignent, tandis que la divergence signifie qu'elles s'éloignent l'une de l'autre.
Toute fonction en escalier est bornée car elle ne prend qu'un nombre fini de valeurs. Si f est réglée, il existe ϕ en escalier telle que, pour tout x ∈ [a, b], |f(x) − ϕ(x)| ≤ 1, et donc |f(x)|≤|ϕ(x)| + 1, ce qui prouve que f est bornée.
Une fonction constante est intégrable sur tout intervalle borné. La fonction [t ↦→ 1 tα ] est intégrable au voisinage de +∞ si, et seulement si, α > 1. La fonction [t ↦→ 1 tα ] est intégrable au voisinage droit de 0 si, et seulement si, α < 1. sont intégrables au voisinage de t0 si, et seulement si, α < 1.
Si f est Riemann- intégrable sur [a, b], alors f est Lebesgue-intégrable sur [a, b], et les deux intégrales sont égales. f(x) = { 1 si x ∈ Q, 0 sinon. Cette fonction est nulle presque partout, donc elle est intégrable d'intégrale nulle au sens de Lebesgue.
f est dite intégrable sur [a, b] si et seulement si I[a,b](f) = I[a,b](f) (pincement).
1 n(n + 1) converge et a pour somme 1. n diverge.
Pour montrer que ( ) ne converge pas uniformément sur vers , il suffit de trouver une suite ( ) de points de telle que la suite ( f n ( x n ) − f ( x n ) ) ne tende pas vers 0 lorsque tend vers .
Une suite est dite convergente si ses termes ont une limite finie quand n tend vers +∞. Créé par Sal Khan.
∑ est à termes positifs si à partir d'un certain rang son terme général un est positif. c'est à dire si ∃p∈N ∀n ≥ p un ≥ 0.
Pour calculer la somme des premiers termes d'une suite géométrique , nous pouvons utiliser la formule suivante : ∑ n = 0 k − 1 u n = u 0 ( 1 − r k ) 1 − r où est la raison.
Exemple : La série s'appelle série harmonique. On prouve qu'elle diverge par exemple en utilisant le critère de Cauchy. On a en effet : S2n−Sn=2n∑k=n+11k≥2n∑k=n+112n=n2n≥12.
Deux séries sont dites de même nature lorsqu'elles sont toutes les deux convergentes ou toutes les deux divergentes. Déterminer la nature d'une série c'est déterminer si elle converge ou si elle diverge.
Par exemple, la suite un = (−1)n diverge : la suite des termes pairs converge vers 1, la suite des termes impairs converge vers −1. Remarquons aussi que la modification d'un nombre fini de termes n'a aucune incidence sur la convergence d'une suite.
L'existence d'une intégrale peut être justifiée à l'aide de plusieurs théorèmes mathématiques tels que le théorème de convergence monotone et le théorème de convergence dominée. Ces théorèmes garantissent l'existence de l'intégrale sous certaines conditions.