Remarque : Une suite qui est divergente n'admet pas nécessairement de limite infinie. Par exemple, la suite de terme générale (−1) prend alternativement les valeurs –1 et 1. Elle n'admet donc pas de limite finie, ni infinie. Elle est donc divergente.
La limite d'une suite, si elle existe, est unique. Une suite n'a pas nécessairement de limite. C'est le cas pour les suites alternées, c'est-à-dire qui alternent entre deux valeurs, ou pour celles dont les valeurs oscillent.
Lorsque la limite en a est un nombre l réel, on dit que la limite est finie. A l'inverse si la limite en a de f est +∞ ou -∞ alors f n'admet pas de limite finie.
On rappelle que dire qu'une limite est égale à plus l'infini signifie que la limite n'existe pas.
A partir de la courbe représentative d'une fonction, on détermine sa limite en un point où elle n'est pas définie. Le fait qu'une fonction ne soit pas définie en un point ne signifie pas que la limite de la fonction en ce point n'existe pas !
On considère la fonction f définie sur R par f(x) = x sin x. donc f(xn) tend vers +∞. donc f(yn) tend vers 0. Par un raisonnement semblable à celui de l'exercice précédent, on en déduit que la fonction x ↦→ cos (1 x ) n'admet pas de limite en 0.
Nous pouvons rappeler que pour qu'une limite existe, il faut que les images de la fonction se rapprochent d'une valeur finie lorsque les valeurs d'entrée se rapprochent du point de chaque côté. Cela revient à dire que les limites à gauche et à droite de la fonction en ce point doivent exister et être égales.
Soit f:I→R f : I → R une fonction, a un point de I ou une extrémité de I , et ℓ∈R ℓ ∈ R . On dit que f admet pour limite ℓ en a si ∀ε>0, ∃η>0, ∀x∈I, |x−a|<η⟹|f(x)−ℓ|<ε. ∀ ε > 0 , ∃ η > 0 , ∀ x ∈ I , | x − a | < η ⟹ | f ( x ) − ℓ | < ε .
Les cas indéterminés sont: zéro divisé par zéro, infini divisé par infini, zéro multiplié par infini, infini moins infini, zéro exposant zéro, infini exposant zéro et un exposant infini.
si la raison est positive (r > 0), la limite est +∞ ; si la raison est négative (r < 0), la limite est –∞ ; si la raison est nulle (r = 0), la suite est constante et converge donc vers la constante.
On note u n → + ∞ ou encore lim n → + ∞ u n = + ∞ , tout en remarquant l'ambiguité de cette notation, car une suite qui tend vers n'est pas convergente et il est préférable de réserver le symbole lim pour les suites convergentes. On définit de façon analogue les suites qui tendent vers .
Il est clair que / admet une limite en a si et seulement si / admet une limite à gauche et à droite en a et / (a) = /- (a) (et alors lim xªa /(x) est égale à cette valeur commune).
On dit que f admet un minimum en a si, pour tout x∈I x ∈ I , f(x)≥f(a) f ( x ) ≥ f ( a ) . On parle parfois de maximum ou de minimum global de la fonction, et on dit que f(a) est le maximum (resp. le minimum) de f sur I . On dit aussi que m est un extremum de f si c'est un maximum ou un minimum.
Pour montrer qu'une suite (Un) n'est pas arithmétique, il suffit de calculer les 3 premiers termes U0, U1 et U2 (ou parfois les 4 ou 5 premiers, si les 3 premiers ne suffisent pas) et de constater que U_2 - U_1 \ne U_1 - U_0.
Plus on avance dans la suite de Fibonacci, plus l'écart entre le rapport de deux de ses termes successifs et le nombre d'or s'amenuise. Par exemple, 21/13= 1,615…, alors que le rapport suivant s'en rapproche davantage, 34/21=1,619…, et ceci de manière infinie.
On dit qu'une suite (un)n≥k0 est bornée si ∃M ∈ R : n ≥ k0 =⇒ |un| ≤ M . Définition 3. On dit que l ∈ C est limite d'une suite complexe (un)n≥k0 si ∀ε > 0 ∃n0 ∈ N : n ≥ n0 =⇒ |un − l| ≤ ε. Les suites possédant une limite l ∈ C sont dites convergentes et les autres divergentes.
Une application f : A → N admet une limite en p si (et seulement si) pour tout réel ε > 0 il existe un réel δ > 0 tel que pour tous x, y dans A ∩ B(p ; δ), on ait d(f(x) ; f(y)) < ε. (Ce théorème se généralise au cas où M est seulement un espace topologique, en remplaçant les boules B(p ; δ) par des voisinages de p.)
Le logarithme naturel de 0 n'existe pas. Mais ln(x) tend vers l'infini négatif lorsque x tend vers 0.
Poser des limites est un acte éducatif nécessaire au développement de l'enfant. Fixer des limites permet aussi à l'enfant de délimiter un cadre pour lui-même. Elles permettent à l'enfant de situer sa place auprès de celle de l'adulte. Il intègre qu'il est une personne à part entière qui peut décider et choisir.
Rappelons que 0 0 est une forme indéterminée, et que ce n'est pas une réponse acceptable pour un problème de recherche de limite. Cela nous indique que nous devons utiliser une méthode différente pour déterminer cette limite. Le numérateur et le dénominateur sont tous deux égaux à zéro en 𝑥 = 4 .
Pour déterminer la limite à l'infini d'une fonction du quotient, nous multiplions le numérateur et le dénominateur par l'inverse du terme de plus haut degré. Le numérateur du quotient est un polynôme, où le terme de plus haut degré est 𝑥 .
« 0/0 est une forme indéterminée » signifie que lorsqu'une suite au numérateur tend vers 0 et qu'une suite au dénominateur tend vers 0, alors tout est possible : leur quotient peut tendre vers l'infini, ou vers 0, ou vers un nombre réel, ou même vers rien du tout. Exemple 1 : un=1n et vn=12n.