Si les vecteurs sont parallèles et de même sens, leur produit scalaire est égal au produit de leurs longueurs. En effet : α = 0 et cos 0 = 1 . Si les vecteurs sont parallèles et de sens contraires, leur produit scalaire est égal à l'opposé du produit de leurs longueurs.
Lorsque deux vecteurs ont la même direction ou sont parallèles l’un à l’autre, le produit scalaire des deux vecteurs est égal au produit de grandeur .
Le vecteur est un vecteur directeur de la droite d'équation ax + by + c = 0. Soient (d) la droite de vecteur directeur et (d') la droite de vecteur directeur . Les droites (d) et (d') sont parallèles si et seulement si et sont colinéaires, c'est-à-dire si et seulement si le déterminant de et de est nul.
Produit scalaire et vecteurs colinéaires
Le produit scalaire de deux vecteurs colinéaires vaut le produit de leurs normes : produit qui est positif si les deux vecteurs sont de même sens ; négatif sinon.
Définition. Deux vecteurs sont dits orthogonaux si leurs directions sont perpendiculaires. Exemple : Sur le schéma ci-dessous, AB est un représentant du vecteur u et AC est un représentant du vecteur v . Comme les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires, les vecteurs u et v sont orthogonaux.
1. Si A est parallèle ou anti-parallèle à B alors A⋅B/(|A||B|)=±1, et inversement, si A⋅B/(|A||B|)=1, A et B sont parallèles, tandis que si A⋅B/(|A||B|)=−1, A et B sont anti-parallèles. ( Les vecteurs sont parallèles s'ils pointent dans la même direction , anti-parallèles s'ils pointent dans des directions opposées.)
Si les vecteurs sont parallèles et de même sens, leur produit scalaire est égal au produit de leurs longueurs. En effet : α = 0 et cos 0 = 1 . Si les vecteurs sont parallèles et de sens contraires, leur produit scalaire est égal à l'opposé du produit de leurs longueurs.
Le déterminant de u et v est le réel det(u ;v )=xy′−yx′. Propriété : Deux vecteurs sont colinéaires si, et seulement si, leur déterminant est nul. Le déterminant de u (−3 ;9) et v (1 ;−3) est det(u ;v )=(−3)×(−3)−9×1=0.
Si les deux vecteurs ⃑ 𝑢 et ⃑ 𝑣 sont perpendiculaires, alors l'angle 𝜃 = 9 0 ∘ . On peut utiliser cette information pour établir que si le produit scalaire de deux vecteurs est égal à 0, alors ces vecteurs sont perpendiculaires.
Soit deux vecteurs →u et →v; le nombre réel résultant de l'opération notée →u⋅→v et telle que →u⋅→v=‖→u‖⋅‖→v‖cosθ, où ‖→u‖ désigne la norme du vecteur u, ‖→v‖ désigne la norme du vecteurv et θ est la mesure de l'angle formé entre les directions des deux vecteurs.
On rappelle que deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si \left(\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{CD}\right) = 0 +k\pi, avec k \in \mathbb{Z}. Les deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si \left(\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{CD}\right) = 0 +k\pi, avec k \in \mathbb{Z}.
Si deux droites forment avec une sécante des angles correspondants égaux, alors ces droites sont parallèles. Si deux droites forment avec une sécante des angles alternes-internes égaux, alors ces deux droites sont parallèles.
Remarques : Deux vecteurs non nuls sont colinéaires si et seulement s'ils ont la même direction. Le vecteur est colinéaire à tout vecteur du plan.
Les vecteurs parallèles sont des vecteurs qui vont dans la même direction ou exactement dans la direction opposée , ce qui signifie que si nous avons un vecteur v, qui est un vecteur, son vecteur opposé sera -v. Or, ces deux vecteurs sont toujours parallèles entre eux. Les vecteurs parallèles sont parfois appelés un ensemble de vecteurs colinéaires.
Le produit scalaire vectoriel est également appelé produit scalaire car le produit des vecteurs donne une quantité scalaire . Parfois, un produit scalaire est également nommé produit interne. En algèbre vectorielle, le produit scalaire est une opération appliquée aux vecteurs. Le produit scalaire ou produit scalaire est commutatif.
Si et seulement si le produit vectoriel de deux vecteurs est nul, ils sont parallèles .
If two vectors are perpendicular, then their dot-product is equal to zero. The cross-product of two vectors is defined to be A×B = (a2_b3 - a3_b2, a3_b1 - a1_b3, a1_b2 - a2*b1). The cross product of two non-parallel vectors is a vector that is perpendicular to both of them.
Definition. - par convention, le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur. Les vecteurs et sont dits orthogonaux si les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires.
Les vecteurs situés le long de la même ligne ou de lignes parallèles sont appelés vecteurs colinéaires . Ils sont également appelés vecteurs parallèles. Deux vecteurs sont colinéaires s’ils sont parallèles à la même ligne quelles que soient leurs amplitudes et leur direction.
On trouve les coordonnées de chaque vecteur. On regarde si les coordonnées des vecteurs sont proportionnelles. Si les coordonnées sont proportionnelles, alors les vecteurs sont colinéaires. Si les coordonnées ne sont pas proportionnelles, alors les vecteurs ne sont pas colinéaires.
Astuce : deux vecteurs sont dits colinéaires s'ils se trouvent sur la même ligne, sinon ils doivent être parallèles. Ainsi, si deux vecteurs ne sont pas colinéaires , ils doivent alors être antiparallèles, ce qui est la propriété du vecteur que nous avons utilisé dans ce problème.
Définition (Produit scalaire) On dit que l'application f : E × E → R est un produit scalaire si : (a) ∀(u, u , v, v ) ∈ E4, ∀(α, β) ∈ R2, f(αu + βu ,v) = αf(u, v) + βf(u ,v) : on dit que f est linéaire `a gauche.
Trouver l'équation d'une droite parallèle à une autre
Cette pente est également celle de la droite dont on recherche l'équation. Dans l'équation y=mx+b y = m x + b , remplacer le paramètre m par la pente déterminée à l'étape 1. Dans cette même équation, remplacer x et y par les coordonnées (x,y) du point donné.
Pour vérifier si des droites sont parallèles, il faut donc mesurer la distance qui les sépare en plusieurs endroits différents. Si cette distance ne change pas, les droites sont parallèles. Attention ! Cette distance se mesure toujours perpendiculairement aux deux droites tracées.
Si A•B = 0 alors ils sont orthogonaux. Si 0 < A•B < |A| |B| alors ils ne sont ni l'un ni l'autre . Deux vecteurs sont parallèles (antiparallèles) si l’un est un multiple positif (négatif) de l’autre. Donc si A=(ax,ay,az) et B=(bx,by,bz), les A et B sont parallèles si ax=cbx, ay=cby, az=cbz pour c>0 et antiparallèles pour c<0 .