Dans un repère orthonormé du plan, la distance entre deux points A et B de coordonnées respectives (xA;yA) et (xB;yB) est donnée par : AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2 . On traite le cas où xB>xA et yB>yA. On considère le point C de coordonnées (xB;yA).
Pour nommer un repère, on lui attribue une lettre, généralement R ; on indique ainsi ses propriétés : R(O, i, j) (par exemple), où : O est le nom du point que nous avons choisi comme origine du repère R ; i et j sont des vecteurs. On peut les voir comme des flèches qui donnent la direction des axes du repère.
Si les deux vecteurs ont la même longueur, on dit que le repère est normé. Et si les deux vecteurs sont perpendiculaires et s'ils ont la même longueur alors le repère est dit orthonormé. L'axe Ox porte le nom d'axe des abscisses et l'axe Oy porte le nom d'axe des ordonnées.
Repère orthogonal et orthonormal
Si les axes (OI) et (OJ) sont perpendiculaires, alors est un repère orthogonal. Si les axes (OI) et (OJ) sont perpendiculaires, et qu'en plus OI = OJ alors est un repère orthonormal (ou orthonormé).
"Abscisse" désigne donc l'axe horizontal d'un repère. La boucle du o se prolonge verticalement, "ordonnée" désigne donc l'axe vertical d'un repère.
Degrés décimaux (DD) : 41.40338, 2.17403. Degrés, minutes et secondes (DMS) : 41°24'12.2"N 2°10'26.5"E. Degrés et minutes décimales (DMM) : 41 24.2028, 2 10.4418.
Un repère affine est constitué de points affinement indépendants mais qui engendrent tout l'espace affine, et permettent de définir les coordonnées barycentriques. Dans un espace euclidien, un repère cartésien peut être orthonormal si ses vecteurs de base sont unitaires et deux à deux orthogonaux.
Les graphiques en colonnes 3D, cônes 3D ou pyramides 3D ont un troisième axe, l'axe de profondeur (également appelé axe des séries ou axe z), de sorte que les données peuvent être tracées le long de la profondeur d'un graphique.
Repérage dans l'espace
x est l'abscisse de A, y est son ordonnée et z est sa cote. La droite sur laquelle on lit les abscisses des points est appelée axe des abscisses, celle sur laquelle on lit les ordonnées des points est appelée axe des ordonnées et celle sur laquelle on lit les cotes est appelée axe des cotes.
Gauche-droite, haut-bas, et avant-arrière. Ces trois dimensions, ou axes, s'appellent généralement X, Y et Z. Ces axes nous servent à naviguer dans notre monde virtuel en 3D. Ils permettent de mesurer la position des objets, leur taille ou encore la distance qui les sépare.
On utilisera un repère constitué des trois axes Ox, Oy et Oz, qui délimitent trois plans. Dans ce système de coordonnées cartésien, un point de l'espace sera noté ( x ; y ; z ).
Dans un repère orthonormé, le produit scalaire de deux vecteurs est égal à la somme des produits de leurs composantes correspondantes. →u⊙→v=uxvx+uyvy. →u⊙→v=uxvx+uyvy+uzvz. On appelle ce produit "scalaire" parce que son résultat est un nombre.
Dans un repère orthonormé, l'abscisse xA d'un point A correspond à la valeur obtenue par projection de ce point sur l'axe horizontal (l'axe des abscisses). L'ordonnée yA d'un point A correspond à la valeur obtenue par projection de ce point sur l'axe vertical (l'axe des ordonnées).
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Les coordonnées géographiques sont exprimées en degrés sexagésimaux (Degrés Minutes Secondes), degrés décimaux, grades ou radians et donnent la latitude et la longitude d'un lieu par rapport à un méridien.
Définition : Le nombre associé à un point sur une demi-droite graduée est l'abscisse de ce point. L'origine O de la demi-droite a pour abscisse 0. A est le point d'abscisse 1. Le point B a pour abscisse 2,5.
On appelle image de x par f le nombre f(x). On appelle antécédent de y le nombre x telle que f(x) = y.
Le point O est l'origine du repère, la droite (OI) est appelée l'axe des abscisses, la droite (OJ) est appelée l'axe des ordonnées. On peut aussi définir un repère à l'aide des vecteurs. Si on pose le repère sera noté avec deux vecteurs non colinéaires. Dans ce cas est l'axe des abscisses et est l'axe des ordonnées.
Définition: Soit un repère orthonormé (O,I,J), alors toute droite admet une équation du type y=ax+b dans ce repère avec a le coefficient directeur (ou pente) de la droite et b l'ordonnée à l'origine. Remarque: l'ordonnée à l'origine est le point d'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées.
L'axe vertical d'un plan cartésien se nomme l'axe des ordonnées, ou l'axe des y . Cet axe gradué est orienté du bas vers le haut du plan cartésien. On y indique la valeur de la variable dépendante dans une relation entre deux variables.
Les coordonnées géographiques d'un point seront donc interpolées localement entre des parallèles et des méridiens en faisant ce que l'on appelle couramment "une règle de trois". Longitude = 0.10 - (0.10 x d1/d2). Latitude = 54.30 - (0.10 x l1/l2).