La courbe représentative de la fonction inverse est l'hyperbole d'équation y = 1 x . a = −f (a). Les points M (a; f (a)) et M′ (−a; f (−a)) sont symétriques par rapport à l'origine du repère.
Les fonctions f et g sont inverses l'une de l'autre si, pour tout élément de leur domaine, on a f(x) × g(x) = 1. L'expression « fonction inverse » est synonyme de « l'inverse d'une fonction ».
Sens de variation
La fonction inverse est décroissante sur ] –∞ ; 0 [ et sur ] 0 ; +∞ [. Démonstration : sur ] 0 ; +∞ [
La courbe représentative de la fonction inverse est une hyperbole. La fonction inverse est strictement décroissante sur l'intervalle et strictement décroissante sur l'intervalle . La fonction inverse est impaire, donc sa courbe représentative est symétrique par rapport au point O, origine du repère.
Le quotient de deux nombres réels de même signe est positif. Le quotient de deux nombres réels de signes contraires est négatif. Les inéquations quotient A(x) B(x) 0, A(x) B(x) < 0, A(x) B(x) 0 et A(x) B(x) > 0 se résolvent après l'étude du signe du quotient A(x) B(x) .
La réciproque d'une fonction f s'obtient en intervertissant les valeurs de x et de y puis en isolant y . Elle se note f−1 . On obtient le graphique d'une réciproque en faisant subir à notre fonction une réflexion par rapport à l'axe y=x .
Le passage au carré inverse l'ordre si les nombres sont négatifs et conserve l'ordre si les nombres sont positifs.
La fonction inverse ne s'annule pas et n'admet pas de maximum ou minimum sur ℝ*, ni même sur ]–∞, 0[ ou sur ]0, +∞[. Elle a pour limite 0 en +∞ et en –∞.
Lorsque pour tout x de l'ensemble de définition f (-x)= - f (x), on dit que la fonction f est impaire et l'origine du repère est le centre de symétrie de la courbe représentative. La fonction inverse est donc impaire.
Pour trouver rapidement l'opposé d'un nombre, on change le signe. Le produit de deux inverses est 1 (l'élément neutre de la multiplication). L'inverse de -1/8 est -8 car -1/8 × -8 = 1. L'inverse de 4/9 est 9/4 car 4/9 × 9/4 = 1.
des rationnels, l'inverse de 2 est 1⁄ 2 = 0,5 et l'inverse de 4 est 0,25. La fonction inverse est l'application qui à tout réel non nul associe son inverse.
On peut en déduire que l'inverse de 5 est 0,2 et que l'inverse de 0,2 est 5. Un nombre et son inverse ont le même signe.
Lorsque pour tous a et b de l'intervalle, les images de a et de b sont rangés dans l'ordre inverse de a et b, on dit que la fonction est décroissante sur l'intervalle considéré. On considère donc deux nombres a et b non nuls et de même signe et on calcule la différence entre les inverses.
Si f(−x)=f(x), la fonction est paire, si f(−x)=−f(x), la fonction est impaire et si on n'obtient aucune des deux égalités précédentes, la fonction n'est ni paire ni impaire.
II- Variations de la fonction inverse
L'ensemble de définition de la fonction inverse est IR*, c'est-à-dire IR privé de 0, puisque nous l'avons vu, seul 0 n'a pas d'inverse. La fonction inverse est strictement décroissante sur son ensemble de définition.
La fonction cube est une fonction impaire, ainsi pour tout x réel on a : f ( − x ) = − f ( x ) f(-x)=-f(x) f(−x)=−f(x).
La fonction cube est une fonction impaire, donc sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'origine du repère. Comme la fonction cube est strictement croissante sur , si et sont deux réels positif, négatifs ou nuls, alors équivaut à (l'inégalité ne change pas de sens).
On voit que le x peut tendre vers 0 de 2 manières : par valeurs négatives (en venant de la gauche) ou positives (en venant de la droite). On rajoute x > 0 si x tend vers 0 par valeurs positives, et x < 0 si x tend vers 0 par valeurs négatives. Cela revient au même, 0+ signifie x > 0, et 0– signifie x < 0.
La fonction logarithmique est la fonction réciproque de la fonction exponentielle. Si a>0 et a≠1, la fonction exponentielle f(x)=ax possède une fonction réciproque f−1, qu'on appelle la fonction logarithmique de base aa et que l'on note loga.
sphère. étendue d'un domaine, d'un savoir, d'une activité, d'une influence...
La première coordonnée, l' abscisse, se lit sur l'axe horizontal (l'axe des abscisses) ; la seconde, l' ordonnée, se lit sur l'axe vertical (l'axe des ordonnées).
avec P(q) = ∂u/∂q(q) et l'on notera la fonction de demande sous la forme : q = D ( p ) . avec D(p) = ( ∂u/∂q )−1 (p). Remarquons ici que la demande inverse P(q) peut se définir directement comme le prix p = P(q) qu'il faut pratiquer pour vendre une quantité q de bien.
Pour déterminer si cette représentation graphique correspond à une fonction, on ajoute une droite verticale sur le graphique et on vérifie le nombre de points d'intersection avec la courbe représentative. S'il y a plus d'un point d'intersection, la représentation graphique ne correspond pas à une fonction.
Une fonction est dite mesurable si l'image réciproque de toute partie mesurable est mesurable. Une fonction réelle d'une variable réelle est dite monotone si elle est croissante ou décroissante. Elle est dite strictement monotone si elle est strictement croissante ou strictement décroissante.
Pour trouver la différence entre deux fonctions dans un graphique, on soustrait l'image de la première fonction par l'image de la deuxième fonction. Pour être en mesure de produire le graphique, on peut faire une table des valeurs ou on peut utiliser les particularités de la fonction résultante.