Vecteur directeur : Le vecteur directeur d'une droite n'est pas unique : deux points quelconques de la droite peuvent définir un vecteur directeur. Si on a deux vecteurs ⃗ u et ⃗ v directeurs de la droite (d), alors ⃗ u et ⃗ v sont colinéaires et on a ⃗ ⃗ det(u ,v )=0.
Propriété Le vecteur (-b\: ; a) est un vecteur directeur de la droite d'équation ax + by + c = 0. Logique Réciproquement, si le vecteur (-b \:; a) est un vecteur directeur de d, alors une équation cartésienne de d est ax + by + c = 0 (avec c à déterminer).
Droites verticales
L'équation réduite d'une droite verticale s'écrit x = k x=k x=k où k est un nombre réel constant.
Si une droite est horizontale, alors elle a un coefficient directeur de zéro, ce qui signifie que nous pouvons définir le coefficient directeur 𝑎 = 0 .
On rappelle que deux droites sont parallèles si elles ont le même vecteur directeur. Comme les deux droites sont parallèles, elles ont le même vecteur directeur. On peut donc utiliser le vecteur directeur de la droite donnée pour ⃑ 𝑑 dans l'équation vectorielle de la droite recherchée.
On appelle vecteur directeur de D tout vecteur non nul u ! qui possède la même direction que la droite D. ( )≠ 0;0 ( ). Cette équation est appelée équation cartésienne de la droite D.
On considère la droite (D) d'équation cartésienne 2x – 3y + 1 = 0. 1°) Déterminer un vecteur directeur de (D). 2x – 3y + 1 = 0 est de la forme ax +by + c = 0 avec a = 2; b = –3 et c =1. La propriété ci-dessus permet donc d'affirmer que le vecteur est vecteur directeur de (D).
[En parlant d'une droite ou d'un plan] Qui est perpendiculaire à un plan de référence (supposé horizontal, en géométrie descriptive).
Un vecteur directeur d'une droite parallèle à l'axe des ordonnées est→i . Cas d'une droite non parallèle aux axes du repère. Un vecteur directeur d'une droite non parallèle aux axes du repère est→u(1 ; a) . (a étant le coefficient directeur de la droite).
On calcule la valeur du coefficient directeur directeur m à partir des coordonnées des points A et B : . On lit sur le graphique la valeur de l'ordonnée à l'origine p (c'est l'intersection entre la droite et l'axe des ordonnées). On trouve p = –2. L'équation de la droite (d2) est donc : y = x – 2.
Ainsi une pente de 10 % signifie que sur une distance horizontale de 100 mètres, la dénivellation est de 10 m, comme par exemple : 410 – 400100 = 10100 = 10 %. Dans un plan cartésien, deux droites de même pente sont parallèles et vice versa.
Pour trouver le coefficient directeur d'une droite, on a besoin de connaître deux points A ( x A ; y A ) A(x_A\ ;y_A) A(xA ;yA) et B ( x B ; y B ) B(x_B\ ;y_B) B(xB ;yB) qui appartiennent à la droite dont on cherche l'équation réduite.
Si une droite s'écrit y=ax+b, son coefficient directeur, qu'on appelle aussi pente de la droite, est le nombre a (alors que b est l'ordonnée à l'origine). Quand x augmente de 1, y augmente de a. Plus la pente est élevée, plus la droite est verticale.
Une équation cartésienne de droite est une équation de la forme ax+by+c=0. Remarque : Il existe une infinité d'équations cartésiennes d'une même droite. Propriété : Si une droite a pour équation cartésienne ax+by+c=0 alors un vecteur directeur de cette droite a pour coordonnées (−b;a).
D'après un théorème du cours, si ax + by + c = 0 est une équation cartésienne d'une droite (d), alors le vecteur est un vecteur directeur de (d) ; à l'aide du vecteur directeur , placer un second point de la droite à partir du point A ; relier les deux points pour obtenir la droite souhaitée.
Pour calculer la norme d'un vecteur, il faut utiliser la formule ‖ v → ‖ = v x 2 + v y 2 . Pour calculer les coordonnées d'un vecteur, nous utilisons la formule A B → = ( x B − x A y B − y A ) . Pour maîtriser le calcul vectoriel, il convient de faire de nombreux exercices.
But : trouver les coefficients p et d. Détermination du coefficient directeur de la droite : Détermination de l'ordonnée à l'origine : Il suffit de lire l'ordonnée du point d'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées. L'équation est de la forme y = px + d.
Le coefficient directeur a représente la « pente » de la droite qui représente une fonction linéaire : si a > 0 a>0 a>0 la droite « monte » ; si a = 0 a=0 a=0 la fonction est constante, la droite est horizontale ; si a < 0 a<0 a<0 la droite « descend ».
On peut calculer le coefficient directeur grâce à la formule a = y B - y A x B - x A . Ici, cela donne ... a = 8 - 5 2 - 1 - = 3 1 = 3 . On peut ensuite calculer l'ordonnée à l'origine grâce à la formule b = y B - a × x B = y A - a × x A .
adjectif Qui suit la direction de la pesanteur, du fil à plomb en un lieu ; perpendiculaire à l'horizontale. Ligne verticale. Station verticale de l'homme. ➙ debout; s'oppose à horizontal.
La verticale d'un point de la surface est une ligne imaginaire traversant ce point et dirigé vers le bas, suivant la pesanteur.
Une équation de droite se présente sous la forme : y = ax + b avec a le coefficient directeur et b l'ordonnée à l'origine. Ici b = 2, car la droite coupe l'axe des ordonnées au point 2. Pour déterminer a, il suffit de se placer sur le point correspondant à l'ordonnée à l'origine (b).
Avec des vecteurs directeurs de chaque droite
Deux droites \left(d\right) et \left(d'\right) sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. Soient \left(d\right) et \left(d'\right) les droites d'équations cartésiennes respectives 5x+2y+1=0 et -15x-6y+7=0.
Pour montrer qu'une droite (d) est orthogonale à un plan (P), il suffit de montrer qu'un vecteur directeur de (d) est colinéaire à un vecteur normal de (P). Et réciproquement : Si (d) est orthogonale à (P) alors : tout vecteur directeur de (d) est colinéaire à un vecteur normal de (P).
Les vecteurs directeurs permettent d'étudier le parallélisme de deux droites. Théorème : Deux droites sont parallèles si, et seulement si, leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. Il existe beaucoup de couples de vecteurs directeurs du plan.