Les diviseurs communs à 30 et 42 sont 1 ; 2 ; 3 et 7. Les diviseurs communs à 30 et 42 sont 1 ; 2 ; 3 et 15. Déterminer les diviseurs communs à 20 et 82. Les diviseurs communs à 20 et 82 sont 1 et 2.
Les diviseurs de 30 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 10 ; 15 ; 30. Les diviseurs communs à 12 et 30 sont donc 1 ; 2 ; 3 et 6. Le plus grand des diviseurs commun à 12 et 30 est 6 donc PGCD(12 ; 30) = 6.
Le plus grand diviseur commun à 30 et 24 est 6. Le plus petit multiple commun à 30 et 24 est 120.
Un diviseur commun à deux ou plusieurs nombres entiers est un nombre entier qui divise chacun d'eux. Exemple : 36 = 12 × 3 et 24 = 12 × 2. Donc 12 est un diviseur commun à 36 et à 24.
Définition : On dit que deux nombres entiers sont premiers entre eux si leur seul diviseur commun est 1. Exemple : • Les diviseurs de 42 sont : 1,2,3,6,7,14,21,42.
Donc les diviseurs communs à 24 et 42 sont 1, 2, 3 et 6.
Multiple commun
Soient a, b et m trois entiers, a et b étant non nuls. Le nombre m est un multiple commun à a et à b s'il est divisible par a et par b. On recherche des multiples communs à 4 et 14. Les premiers multiples de 4 sont : 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, etc.
Prenons un exemple avec 108 et 60.
Les diviseurs de 60 sont 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 et 60. Les diviseurs communs de 60 et de 108 sont donc 1, 2, 3, 4, 6 et 12. Ainsi, on a PGCD(108;60) = 12.
Exemples. Trouver le PGCD de 28 et 42 : 1. Dresser la liste des diviseurs de chacun des nombres.
Diviseurs de 24 : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 et leurs opposés. Diviseurs de 60 : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 et leurs opposés. Diviseurs communs de 24 et 60 : 1, 2, 3, 4, 6, 12 et leurs opposés. Le plus grand de ces diviseurs est 12.
utilise le pgcd quand on s'occupe des diviseurs communs à ces nombres et qu'on est amené à chercher le plus grand de ces diviseurs. Le PGCD de différents nombres est un diviseur de chacun des nombres et est donc toujours inférieur ou égal à chacun des nombres.
Le PGCD est le produit des facteurs communs aux deux nombres (ceux en rouge) donc 2 x 2 x 3 = 12. Le PPCM est le produit du PGCD par le reste des facteurs non communs (en noir) donc 12 x 3 x 7 = 252.
Le plus grand d'entre eux est 12. On l'appelle donc le plus grand commun diviseur(P.G.C.D) de 24 et 36.
Rappel sur le PGCD
On a vu en classe de 3ème que le PGCD de deux nombres a et b est le plus grand nombre qui divise à la fois a et b. Par exemple, le PGCD de 15 et 10 est 5. Pour déterminer le PGCD de deux nombres, on peut faire une liste des diviseurs de a puis de b et déterminer le plus grand diviseur commun.
Calculer le PPCM
Le plus petit commun multiple est le produit de tous les facteurs dans le plus grand nombre de leur occurrence. Le plus petit commun multiple de 24 et 32 est 96.
Le plus petit multiple commun de 21,35 est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu'ils apparaissent dans un nombre ou l'autre. Multipliez 3⋅5⋅7 3 ⋅ 5 ⋅ 7 .
Calculer le PPCM
Le plus petit commun multiple de 30, 10 et 14 est 210.
Le PPCM est donné par le rapport du produit des 2 entiers donnés et de leur PGCD. On obtient la formule suivante PPCM (a,b) = a × b ÷ PGCD (a,b).
42 est un multiple de 7 , car 42 = 7 X . 56 est un multiple de 8 , car 56 = 8 X . 81 est un multiple de 9 , car 81 = 9 X .
Le plus grand de ces diviseurs est 18. On note : PGCD(72, 54) = 18.
Réponse. Et le diviseur commun de 80 et 100 est 10 car un entier est divisible par 10 si le chiffre de ses unités est 0 donc le diviseur commun est bien 10.
donc PPCM(10 ; 12) = 2 x 5 x 6 = 60 .