La bissectrice d'un angle est la droite qui partage un angle en deux angles de même mesure. La bissectrice d'un angle peut également être définie comme l'ensemble des points à égale distance des deux côtés de l'angle. Cette deuxième définition permet de tracer la bissectrice d'un angle avec un compas.
Tracer un nouvel arc dans l'ouverture de l'angle. Refaire l'opération à partir de l'autre intersection. À l'aide d'une règle, tracer la droite qui relie le sommet de l'angle au point d'intersection des deux derniers arcs tracés. Cette droite est la bissectrice de l'angle.
La bissectrice d'un angle est la demi-droite passant par le sommet et qui partage cet angle en deux angles de même mesure. [OC) est la bissectrice de l'angle . Pour indiquer l'égalité d'angles, on code la figure avec des signes identiques sur chaque angle.
Remarque : la bissectrice d'un angle est un axe de symétrie pour cet angle. Propriété : Si un point M appartient à la bissectrice d'un angle, alors M est à égale distance des côtés de cet angle. Réciproquement : Si un point M est à égale distance des côtés d'un angle alors M appartient à la bissectrice de cet angle.
et donc : ℓ=aba+b×2cosα.
Dans un triangle, les médiatrices des trois côtés sont concourantes en un point qui est le centre du cercle circonscrit de ce triangle. La médiatrice d'un segment est un axe de symétrie de ce segment.
médiatrice n.f. Droite perpendiculaire à un segment et passant par son milieu.
Le point O est le sommet de l'angle . Les demi-droites en sont les côtés.
Le centre du cercle inscrit dans un triangle est le point d'intersection des trois bissectrices d'un triangle. Dans un triangle, l'hypoténuse est le plus grand côté. Une médiatrice est une droite qui passe par le milieu d'un segment et qui est perpendiculaire à ce même segment.
Médiatrice : droite passant par le milieu d'un segment et perpendiculaire à ce segment. Bissectrice : demi-droite coupant un angle en deux parties égales.
Angle aigu désigne, dans le domaine de la géométrie, un angle saillant inférieur dont la mesure est comprise entre 0° et 90°. Exemple : Le contraire d'un angle aigu est un angle obtus, sa mesure est donc supérieure à 90°.
Pour mesurer un angle, on utilise un rapporteur. La plupart des rapporteurs sont gradués en degré (°) avec une double graduation : de 0 à 180° de gauche à droite sur la graduation extérieure ; et de 0 à 180° de droite à gauche sur la graduation intérieure.
La bissectrice de l'angle AOB est aussi l'ensemble des points qui sont à égale distance des demi-droites [OA) et [OB). La bissectrice extérieure de l'angle AOB est la droite perpendiculaire à D passant par O. Si B' est le symétrique de B par rapport à O, la bissectrice extérieure de AOB est la bissectrice de AOB'.
Méthode avec un compas et une règle
Placer la pointe sèche du compas sur une extrémité du segment et tracer un cercle. Répéter l'étape 2 à partir de l'autre extrémité du segment. À l'aide d'une règle, tracer la droite qui relie les deux intersections des cercles. Cette droite est la médiatrice du segment.
Il suffit de tracer un cercle de centre O et de rayon quelconque qui coupe les demi-droites de l'angle en A et B, puis de prendre un point C sur le cercle ; l'angle moitié sera ACB. Il faut prendre le point C sur la bonne partie du cercle, sinon on obtiendrait le supplémentaire de l'angle moitié.
Les propriétés des triangles
Dans n'importe quel triangle, le côté le plus long est opposé à l'angle le plus grand. Par le fait même, le côté le plus petit est opposé à l'angle le plus petit. Ainsi, la longueur du côté d'un triangle influence la mesure de l'angle qui lui est opposé.
Les 3 médiatrices d'un triangle sont les médiatrices de chacun de ses côtés. Ces 3 médiatrices se coupent en un point qui est le centre du cercle circonscrit au triangle.
Les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes en un point appelé l'orthocentre du triangle. La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire à ce segment et qui passe par son milieu. Les trois médiatrices d'un triangle sont concourantes en un point qui est le centre du cercle circonscrit au triangle.
Dans un triangle, si trois lignes sont tracées en partant de chaque angle et en coupant le côté opposé à angle droit, elles se rencontrent en un point d'intersection, qui est appelé orthocentre, en géométrie. Exemple : Tous les triangles possèdent un orthocentre.
Définition Un angle nul est angle dont la mesure est égale à 0°. Définition Un angle aigu est un angle dont la mesure est comprise entre 0° et 90°. Remarque Un angle aigu peut toujours être contenu dans un angle droit.
Notations d'un angle On note un angle à l'aide de trois lettres surmontées d'un chapeau. Ces trois lettres correspondent à trois points : le sommet et deux points situés sur chaque côté. La lettre centrale désigne toujours le sommet de l'angle.
Milieu, médiatrice, plan médiateur
L'ensemble des points du plan équidistants de deux points A et B constitue la médiatrice du segment [AB]. Le milieu du segment [AB] peut donc être défini comme l'intersection de la droite (AB) avec la médiatrice du segment [AB].
Définition : La segment [AB] est la partie de la droite qui a pour extrémités les points A et B. On ne peut pas prolonger le tracé d'un segment. Exemple : Définition : La demi-droite [AB) est la partie de la droite qui a pour origine le point A et qui passe par le point B.
La médiatrice (d) d'un segment [AB] est l'axe de symétrie de ce segment. La bissectrice d'un angle est l'axe de symétrie de cet angle. Un triangle isocèle possède un axe de symétrie : la médiatrice de sa base.