La fonction arcsin est impaire. Elle est dérivable sur ]−1,1[ et sa dérivée est donnée par, pour tout x∈]−1,1[, x ∈ ] − 1 , 1 [ , (arcsin)′(x)=1√1−x2. ( arcsin ) ′ ( x ) = 1 1 − x 2 . Il faut faire attention au fait que la fonction arcsin est la réciproque de la restriction de sin à l'intervalle [−π/2,π/2].
La dérivée f' de la fonction f(x)=arcsin x est: f'(x) = 1 / √(1 - x²) pour tout x dans ]-1,1[.
La dérivée f' de la fonction f(x)=arctan x est: f'(x) = 1 / (1 + x²) pour tout x réel.
Conclusion : une primitive de arcsinus sur l'intervalle ]-1 ; 1[ est une fonction de la forme : F(x) = x . arcsin(x) + + k .
Comment dériver une fonction trigonométrique ? La dérivée de sin(x) est cos(x), alors que la dérivée de cos(x) est -sin(x).
Définition, dérivation
Pour tout réel x : cos'(x) = − sin(x) et cos'(ax + b) = − a sin(ax + b). Pour tout réel x : sin'(x) = cos(x) et sin'(ax + b) = a cos(ax + b).
Les primitives de la fonction x ↦ sin x sont les fonctions x ↦ - cos x + C, celle de la fonction x ↦ cos x sont les fonctions x ↦ sin x + C et celles de la fonction x ↦ eˣ sont les fonctions x ↦ eˣ + C.
Les relations Arcsinus, Arccosinus et Arctangente permettent de calculer la valeur d'un angle aigu d'un triangle rectangle dont on connaît les côtés. Voici un autre type d'exercice que l'on peut résoudre grâce aux relations trigonométriques.
Nom de la fonction : Arc sinus. C'est une fonction trigonométrique, fonction réciproque de la fonction sinus restreinte à l'intervalle J = [-π/2, +π/2] sur lequel cette dernière est bijective puisque continue et strictement croissante de J sur [-1,+1]. Origine du nom : abréviation de sinus et de arc (de cercle).
Écrivez arctan(x) comme une fonction. La fonction F(x) peut être trouvée en déterminant l'intégrale infinie de la dérivée f(x) . Définissez l'intégrale à résoudre. Intégrez par parties en utilisant la formule ∫udv=uv−∫vdu ∫ u d v = u v - ∫ v d u , où u=arctan(x) u = arctan ( x ) et dv=1 d v = 1 .
Pour être plus précis, l'inverse du calcul de la dérivée est le calcul de primitive. Le calcul de primitive est l'un des moyens de calculer une intégrale. On peut aussi calculer une intégrale de façon géométrique, ou par des encadrements, des passages à la limite…
On dit que cette fonction est la fonction réciproque de la fonction tangente, restreinte à l'intervalle ]− π 2 ; π 2 [ . Remarque : la fonction arctan correspond à la fonction tan−1 de la calculatrice.
La fonction Arctangente est continue et strictement croissante sur. C'est une conséquence directe du théorème des fonctions réciproques.
La fonction réciproque de sin est notée arcsin, ou parfois sin -1. Le arc signifie arc de cercle, comme pour arccos, car là encore arcsin va correspond à un arc de cercle. Tout d'abord, la fonction sin faisant une bijection de [-π/2 ; π/2] dans [-1 ; 1], arcsin fait une bijection de [-1 ; 1] dans [-π/2 ; π/2].
Relation entre arc cosinus et arc sinus
En effet, π2 – arccos x est compris entre –π2 et π2 et son sinus est égal au cosinus de arccos x c'est-à-dire à x, donc π2 – arccos x = arcsin x.
Proposition 2.1 a) Les fonctions arctan et arcsin sont impaires mais arccos n'est pas paire ; 1 Page 2 b) les fonctions arctan et arcsin sont strictement croissantes et la fonction arccos strictement décroissante.
La fonction Arcsinus est une fonction impaire.
On la note arcsin, sin-1 ou parfois asin. Remarque : La fonction sinus n'est pas bijective car elle prend plusieurs fois les mêmes valeurs (elle est périodique).
Pour retenir les trois principales fonctions trigonométriques, vous pouvez mémoriser « soh cah toa » pour sinus = opposé sur hypoténuse (soh), cosinus = adjacent sur hypoténuse (cah)et tangente = opposé sur adjacent (toa).
En mathématiques, l'arc sinus d'un nombre réel compris (au sens large) entre –1 et 1 est l'unique mesure d'angle en radians dont le sinus vaut ce nombre, et comprise entre –π/2 et π/2.
Trigonométrie Exemples
La valeur exacte de arctan(−1) est −π4 .
Il suffit donc de la déterminer par exemple, sur [0,π]. Mais si x ∈ [0,π], on a par définition Arccos (cos(x)) = x. Donc g est l'unique fonction paire, 2π-périodique, telle que si x ∈ [0,π, on ait g(x) = x. Par exemple, Arccos (cos(3π/2)) = π/2, Arccos (cos(5π/3)) = π/3.
L'astronome et mathématicien indien Aryabhata (476-550), dans son ouvrage Arya-Siddhanta, définit pour la première fois le sinus (moderne) à partir de la relation entre la moitié d'un angle et la moitié d'une corde, tout en définissant également le cosinus, le contre-sinus (ou sinus verse), et l'inverse du sinus.
L'intégrale de sin(x) par rapport à x est −cos(x) .
Quant au cosinus, c'est tout simplement le sinus du complémentaire (de l'angle) : « co- » vient du latin cum, qui signifie « avec ». La tangente, elle, vient de ce qu'elle mesure une portion d'une tangente au cercle trigono- métrique.